3D数学--矩阵知识
来源：互联网 发布：windows http代理软件 编辑：程序博客网 时间：2024/05/16 06:55
本帖最后由 hunter_wwq 于 2013-7-24 14:04 编辑
开此贴是贴出自己在学如题所示知识点时所做的笔记，旨在跟我一样菜的小朋友们共同学习探讨一下这方面的知识，当然，绝对绝对欢迎大牛们来指点指教一下！！！
这是笔记附件：
3D数学-矩阵知识.docx
下面也贴出笔记的内容，图片和格式之类的我就不意义复制粘贴过来了，太麻烦了，等下次把这块知识都弄完了后再把格式改一下！
任务
了解矩阵相关的基础知识
掌握矩阵在3D中的具体应用
清楚矩阵和逆矩阵各自的应用
在osg中是如何进行矩阵运算的
1. http://www.360doc.com/content/11/0906/15/7317486_146206322.shtml
2. 概念：方阵的行列式
>行列式与矩阵变换导致的尺寸改变相关，其中行列式的绝对值与面积（2D）、体积（3D）的改变相关，行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像或投影。
>矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。如果矩阵的行列式为0，那么该矩阵包含投影。如果矩阵的行列式为负，那么该矩阵包含镜像。
有关矩阵的行列式的概念：
>方阵M的行列式记作|M|或“det M”，非方阵矩阵的行列式是未定义的。
非方阵矩阵即行列长度不等的矩阵。
计算矩阵行列式的方法：
>将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积。
例：2X2阶矩阵行列式的定义：
2X2阶矩阵行列式计算示意图：
3X3阶矩阵行列式的定义：
3X3阶矩阵行列式计算示意图：
行列式的一些重要性之如下：
3. 概念：逆矩阵
矩阵求逆运算只能用于方阵。
并非所有的矩阵都有逆。
>方阵M的逆，记作M-1，也是一个矩阵。当M与M-1相乘时，结果是单位矩阵。
>奇异矩阵的行列式为0，非奇异矩阵的行列式不为0，所以检测行列式的值是判断 矩阵是否可逆的有效方法。
>对于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时，vM=0。
逆矩阵的重要性质如下：
>矩阵的逆在几何上非常有用，因为它使得我们可以计算变换的”反向“或”相反“变换 ---- 能”撤销“原变换的变换。所以，如果向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆M-1进行变换，将会得到原向量。这很容易通过代数方法验证：
逆矩阵可撤销之前所做的变换。
4. 概念：余子式、代数余子式、标准伴随矩阵
>余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。
>假设矩阵M有r行c列，记法M{ij}表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有r-1行，c-1列，矩阵M{ij}称作M的余子式。
>对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式。
>从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素，都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就是矩阵的行列式。例如，任意选择一行，如行i，行列式的计算过程如公式9.4所示：
例，重写3X3矩阵的行列式：
>M的”标准伴随矩阵“记作”adjM“，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。
例3X3阶矩阵：
计算M的代数余子式矩阵：
M的标准伴随矩阵是M的待述余子式矩阵的转置：
>一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆。
>其表示如公式9.7所示：
5. 概念：正交矩阵
>正交矩阵对我们非常有用，因为很容易计算它的逆矩阵。
>很多情况下，我们可以提前知道矩阵是如何建立的，甚至了解矩阵是仅包含旋转、镜像呢，还是二者皆有（记住：旋转和镜像矩阵是正交的）。
>根据定义，当且仅当 M MT = I 时M是正交的。
>（1）当且仅当一个向量是单位向量时，它与自身的点积结果是1。
>（2）当且仅当两个向量是互相垂直时，它们的点积为0。
>所以，若一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：矩阵的每一行都是单位向量，矩阵的所有行互相垂直。
>如果M是正交的，则MT也是正交的。
当矩阵M为正交矩阵时，则该矩阵的逆矩阵为M的转置矩阵。
矩阵正交化：
>构造一组正交基向量（矩阵的行）的标准算法是施密特正交化。它的基本思想是，对每一行，从中减去它平行于已处理过的行的部分，最后得到垂直向量。
例，以3x3矩阵为例，和以前一样，用r1、r2、r3代表3x3阶矩阵M的行。正交向量组r1'、r2'、r3'的计算如公式9.9所示：
>现在r1'、r2'、r3'互相垂直了，它们是一组正交基。当然，它们不一定是单位向量。构造正交矩阵需要使用标准正交基，所以必须标准化这些向量。注意，如果一开始就进行标准化，而不是在第2步中做，就能避免所有除法了。
6. 概念：4D齐次空间
4D坐标的基本思想:
>实际的3D点被认为是在4D中w=1"平面"上。4D点的形式为(x, y, z, w)，将4D点投影到这个"平面"上得到相应的实际3D点（x/w, y/w, z/w）。w=0时4D点表示"无限远点"，它描述了一个方向而不是一个位置。
>在4D中，仍然可以用矩阵乘法来表达平移，如公式9.10所示，而在3D中是不可能的：
>记住，即使是在4D中，矩阵乘法仍然是线性变换。矩阵乘法不能表达4D中的"平移"，4D零向量也将总是被变换成零向量。这个技巧之所以能在3D中 平移点是因为我们实际上是在切变4D空间。与实际3D空间相对应的4D中的"平面"并没有穿过4D中的原点。因此，我们能通过切变4D空间来实现3D中的 平移。
#Q: 何为线性变换？
#Q: 位置矩阵P和转换矩阵T的区别在哪？
#A: 对模型位置做变换，一定是P后乘T。
位置矩阵P:
转换矩阵T:
转换矩阵的最后一列一定为
平移转换矩阵的模板为：
故对于转换矩阵T，上边3X3部分是旋转/缩放部分，最下一行是平移部分。逆向利用这些信息，能将任意4X4矩阵分解为线性变换部分和平移部分。将平移向量 记做t，将上边3X3部分记做RS，则T可简写为：
>当一个形如[x, y, z, 0]的无穷远点乘以一个包含旋转、缩放等的变换矩阵，将会发生预期的变换。结果仍是一个无穷远点，形式为[x, y, z, 0]。
一个无穷远的点经过包含平移的变换后得到：
其结果和没有平移的变换结果是一样的！
>换句话说，4D向量中的w分量能够"开关" 4x4 矩阵的平移部分。这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不应该平移。从几何意义上说，能将第一类数据当作"点"，第二类数据当作"向量"。
>使用4x4矩阵的一个原因是4x4变换矩阵能包含平移。当我们仅为这个目的使用4x4矩阵时，矩阵的最后一列总是[0, 0, 0, 1]T。
7. 概念：一般仿射矩阵
通过4X4矩阵我们可以构造包含平移在内的一般仿射矩阵。例如：
8. 概念：透视投影
>正交投影也称作平行投影，因为投影线都是平行的（投影线是指从原空间中的点到投影点的连线）。
>3D中的透视投影仍然是投影到2D平面上，但是投影线不再平行，实际上，它们相交于一点，该点称作投影中心。
如图所示：
>因为投影中心在投影平面前面，投影线到达平面之前已经相交，所以投影平面上的图像是翻转的。当物体远离投影中心时，正交投影仍保持不变，但透视投影变小了。
9. 概念已经理得差不多了，现在来做osg中的矩阵变换
大概有以下几个概念需要理一下：
1) 矩阵与逆矩阵之间的互换
2) 矩阵与逆矩阵在三维中的应用
3) 有关旋转\平移\缩放矩阵
4) 投影矩阵
10. 首先看osg::Matrix类
1) 平移相关方法2) 透视投影的平截头体相关方法3) 透视投影相关方法4) 正交投影相关方法5) 视点视向相关方法6) 除转换相关及以上相关外的其他方法7) #Q: 有多少东西是可以用矩阵来表示的？还有什么东西是不能用矩阵来表示的？
#A: 正交投影、透视投影、模型观察均可用矩阵来表示；
8) #Q: 矩阵都用在了什么地方？
看osg::Camera类
11. 看osg::Camera类
1) 跟矩阵相关的方法由上可知相机中可设置投影矩阵参数和模型观察矩阵参数。
#Q: 那在相机中这两个参数的作用是什么呢？
#A: 在osg::Camera类中这两个参数的定义如下：在场景视景器中有一个默认的主属相机，osgViewer::Viewer中。
相机默认带有投影矩阵和模型观察矩阵这两个参数。
#Q: 那么由谁来操作这个相机呢？
看一下相机操作器类osgGA::CameraManipulator
12. 看osgGA::CameraManipulator类
1) 跟操作相机相关的方法有：此类唯一直接操作相机的方法就是updateCamera，设置模型观察矩阵。
可见相机操作器类是通过模型观察矩阵来操作相机的。
接下来看一下此类中有哪些方法跟模型观察矩阵有关。。。
2) 跟模型观察矩阵有关的方法并没有直接见到，从#1)中看到方法updateCamera中有调用getInverseMatrix方法，但是在osgGA::CameraManipulator中getInverseMatrix和getMatrix方法均为纯虚拟方法：如此上两方法的注释可知，均为获取操作器的位置，并以4X4矩阵来表示。而方法getInverseMatrix一般用作模型观察矩阵。
#Q: 为什么纯虚拟方法可以被调用？如updateCamera方法所示。
猜测：在osgGA::CameraManipulator中跟模型观察矩阵相关的参数有：先看着三个参数在哪些方法中被用到。
三个参数默认赋值为：这三个参数都跟home这个关键字有关，那么跟home相关的其他都有：#Q: _homeCenter, _homeEye, _homeUp具体起到一个什么作用？
#A: 这个也是用来辅助getInverseMatrix方法用的，具体怎么用，还是要靠自己来定义。
#TODO(continue): 可自定义一个漫游器来测试一下。
路径漫游下的相机控制：
http://www.52vr.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=23815
osg操纵器解析：
>重写getMartix()，和getInverseMatrix()方法
http://lzchenheng.blog.163.com/b ... 353620106710534514/
>要编写一个好的操纵器，必须首先重载setNode()和home()方法，根据根节点的包围球，确定视点的初始位置，然后，根据视点的初始位置和用户的操作(移动、旋转等操作），重载getInverseMatrix()和getMatrix()方法，构建观察矩阵或物体的位置姿态矩阵，这两个矩阵互为逆矩阵。
开此贴是贴出自己在学如题所示知识点时所做的笔记，旨在跟我一样菜的小朋友们共同学习探讨一下这方面的知识，当然，绝对绝对欢迎大牛们来指点指教一下！！！
这是笔记附件：
3D数学-矩阵知识.docx 下面也贴出笔记的内容，图片和格式之类的我就不意义复制粘贴过来了，太麻烦了，等下次把这块知识都弄完了后再把格式改一下！
任务
了解矩阵相关的基础知识
掌握矩阵在3D中的具体应用
清楚矩阵和逆矩阵各自的应用
在osg中是如何进行矩阵运算的
1. http://www.360doc.com/content/11/0906/15/7317486_146206322.shtml
2. 概念：方阵的行列式
>行列式与矩阵变换导致的尺寸改变相关，其中行列式的绝对值与面积（2D）、体积（3D）的改变相关，行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像或投影。
>矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。如果矩阵的行列式为0，那么该矩阵包含投影。如果矩阵的行列式为负，那么该矩阵包含镜像。
有关矩阵的行列式的概念：
>方阵M的行列式记作|M|或“det M”，非方阵矩阵的行列式是未定义的。
非方阵矩阵即行列长度不等的矩阵。
计算矩阵行列式的方法：
>将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积。
例：2X2阶矩阵行列式的定义：
2X2阶矩阵行列式计算示意图：
3X3阶矩阵行列式的定义：
3X3阶矩阵行列式计算示意图：
行列式的一些重要性之如下：
3. 概念：逆矩阵
矩阵求逆运算只能用于方阵。
并非所有的矩阵都有逆。
>方阵M的逆，记作M-1，也是一个矩阵。当M与M-1相乘时，结果是单位矩阵。
>奇异矩阵的行列式为0，非奇异矩阵的行列式不为0，所以检测行列式的值是判断 矩阵是否可逆的有效方法。
>对于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时，vM=0。
逆矩阵的重要性质如下：
>矩阵的逆在几何上非常有用，因为它使得我们可以计算变换的”反向“或”相反“变换 ---- 能”撤销“原变换的变换。所以，如果向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆M-1进行变换，将会得到原向量。这很容易通过代数方法验证：
逆矩阵可撤销之前所做的变换。
4. 概念：余子式、代数余子式、标准伴随矩阵
>余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。
>假设矩阵M有r行c列，记法M{ij}表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有r-1行，c-1列，矩阵M{ij}称作M的余子式。
>对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式。
>从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素，都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就是矩阵的行列式。例如，任意选择一行，如行i，行列式的计算过程如公式9.4所示：
例，重写3X3矩阵的行列式：
>M的”标准伴随矩阵“记作”adjM“，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。
例3X3阶矩阵：
计算M的代数余子式矩阵：
M的标准伴随矩阵是M的待述余子式矩阵的转置：
>一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆。
>其表示如公式9.7所示：
5. 概念：正交矩阵
>正交矩阵对我们非常有用，因为很容易计算它的逆矩阵。
>很多情况下，我们可以提前知道矩阵是如何建立的，甚至了解矩阵是仅包含旋转、镜像呢，还是二者皆有（记住：旋转和镜像矩阵是正交的）。
>根据定义，当且仅当 M MT = I 时M是正交的。
>（1）当且仅当一个向量是单位向量时，它与自身的点积结果是1。
>（2）当且仅当两个向量是互相垂直时，它们的点积为0。
>所以，若一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：矩阵的每一行都是单位向量，矩阵的所有行互相垂直。
>如果M是正交的，则MT也是正交的。
当矩阵M为正交矩阵时，则该矩阵的逆矩阵为M的转置矩阵。
矩阵正交化：
>构造一组正交基向量（矩阵的行）的标准算法是施密特正交化。它的基本思想是，对每一行，从中减去它平行于已处理过的行的部分，最后得到垂直向量。
例，以3x3矩阵为例，和以前一样，用r1、r2、r3代表3x3阶矩阵M的行。正交向量组r1'、r2'、r3'的计算如公式9.9所示：
>现在r1'、r2'、r3'互相垂直了，它们是一组正交基。当然，它们不一定是单位向量。构造正交矩阵需要使用标准正交基，所以必须标准化这些向量。注意，如果一开始就进行标准化，而不是在第2步中做，就能避免所有除法了。
6. 概念：4D齐次空间
4D坐标的基本思想:
>实际的3D点被认为是在4D中w=1"平面"上。4D点的形式为(x, y, z, w)，将4D点投影到这个"平面"上得到相应的实际3D点（x/w, y/w, z/w）。w=0时4D点表示"无限远点"，它描述了一个方向而不是一个位置。
>在4D中，仍然可以用矩阵乘法来表达平移，如公式9.10所示，而在3D中是不可能的：
>记住，即使是在4D中，矩阵乘法仍然是线性变换。矩阵乘法不能表达4D中的"平移"，4D零向量也将总是被变换成零向量。这个技巧之所以能在3D中 平移点是因为我们实际上是在切变4D空间。与实际3D空间相对应的4D中的"平面"并没有穿过4D中的原点。因此，我们能通过切变4D空间来实现3D中的 平移。
#Q: 何为线性变换？
#Q: 位置矩阵P和转换矩阵T的区别在哪？
#A: 对模型位置做变换，一定是P后乘T。
位置矩阵P:
转换矩阵T:
转换矩阵的最后一列一定为
平移转换矩阵的模板为：
故对于转换矩阵T，上边3X3部分是旋转/缩放部分，最下一行是平移部分。逆向利用这些信息，能将任意4X4矩阵分解为线性变换部分和平移部分。将平移向量 记做t，将上边3X3部分记做RS，则T可简写为：
>当一个形如[x, y, z, 0]的无穷远点乘以一个包含旋转、缩放等的变换矩阵，将会发生预期的变换。结果仍是一个无穷远点，形式为[x, y, z, 0]。
一个无穷远的点经过包含平移的变换后得到：
其结果和没有平移的变换结果是一样的！
>换句话说，4D向量中的w分量能够"开关" 4x4 矩阵的平移部分。这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不应该平移。从几何意义上说，能将第一类数据当作"点"，第二类数据当作"向量"。
>使用4x4矩阵的一个原因是4x4变换矩阵能包含平移。当我们仅为这个目的使用4x4矩阵时，矩阵的最后一列总是[0, 0, 0, 1]T。
7. 概念：一般仿射矩阵
通过4X4矩阵我们可以构造包含平移在内的一般仿射矩阵。例如：
8. 概念：透视投影
>正交投影也称作平行投影，因为投影线都是平行的（投影线是指从原空间中的点到投影点的连线）。
>3D中的透视投影仍然是投影到2D平面上，但是投影线不再平行，实际上，它们相交于一点，该点称作投影中心。
如图所示：
>因为投影中心在投影平面前面，投影线到达平面之前已经相交，所以投影平面上的图像是翻转的。当物体远离投影中心时，正交投影仍保持不变，但透视投影变小了。
9. 概念已经理得差不多了，现在来做osg中的矩阵变换
大概有以下几个概念需要理一下：
1) 矩阵与逆矩阵之间的互换
2) 矩阵与逆矩阵在三维中的应用
3) 有关旋转\平移\缩放矩阵
4) 投影矩阵
10. 首先看osg::Matrix类
1) 平移相关方法2) 透视投影的平截头体相关方法3) 透视投影相关方法4) 正交投影相关方法5) 视点视向相关方法6) 除转换相关及以上相关外的其他方法7) #Q: 有多少东西是可以用矩阵来表示的？还有什么东西是不能用矩阵来表示的？
#A: 正交投影、透视投影、模型观察均可用矩阵来表示；
8) #Q: 矩阵都用在了什么地方？
看osg::Camera类
11. 看osg::Camera类
1) 跟矩阵相关的方法由上可知相机中可设置投影矩阵参数和模型观察矩阵参数。
#Q: 那在相机中这两个参数的作用是什么呢？
#A: 在osg::Camera类中这两个参数的定义如下：在场景视景器中有一个默认的主属相机，osgViewer::Viewer中。
相机默认带有投影矩阵和模型观察矩阵这两个参数。
#Q: 那么由谁来操作这个相机呢？
看一下相机操作器类osgGA::CameraManipulator
12. 看osgGA::CameraManipulator类
1) 跟操作相机相关的方法有：此类唯一直接操作相机的方法就是updateCamera，设置模型观察矩阵。
可见相机操作器类是通过模型观察矩阵来操作相机的。
接下来看一下此类中有哪些方法跟模型观察矩阵有关。。。
2) 跟模型观察矩阵有关的方法并没有直接见到，从#1)中看到方法updateCamera中有调用getInverseMatrix方法，但是在osgGA::CameraManipulator中getInverseMatrix和getMatrix方法均为纯虚拟方法：如此上两方法的注释可知，均为获取操作器的位置，并以4X4矩阵来表示。而方法getInverseMatrix一般用作模型观察矩阵。
#Q: 为什么纯虚拟方法可以被调用？如updateCamera方法所示。
猜测：在osgGA::CameraManipulator中跟模型观察矩阵相关的参数有：先看着三个参数在哪些方法中被用到。
三个参数默认赋值为：这三个参数都跟home这个关键字有关，那么跟home相关的其他都有：#Q: _homeCenter, _homeEye, _homeUp具体起到一个什么作用？
#A: 这个也是用来辅助getInverseMatrix方法用的，具体怎么用，还是要靠自己来定义。
#TODO(continue): 可自定义一个漫游器来测试一下。
路径漫游下的相机控制：
http://www.52vr.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=23815
osg操纵器解析：
>重写getMartix()，和getInverseMatrix()方法
http://lzchenheng.blog.163.com/b ... 353620106710534514/
>要编写一个好的操纵器，必须首先重载setNode()和home()方法，根据根节点的包围球，确定视点的初始位置，然后，根据视点的初始位置和用户的操作(移动、旋转等操作），重载getInverseMatrix()和getMatrix()方法，构建观察矩阵或物体的位置姿态矩阵，这两个矩阵互为逆矩阵。
0 0
- 3D数学--矩阵知识
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识
- 3d数学--矩阵更多知识
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（3）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（3）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（3）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（5）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（4）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（2）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（1）
- zz 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（4）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识 （转）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（1）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（2）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（4）
- 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（5）
- android 通知的使用（Notification）
- C++ 11 auto & decltype
- 使用Spring 时出现InvocationTargetException
- jQuery 遍历- 关于closest() 的方法介绍以及与parents()的方法区别分析
- TatukGIS Editor使用教程：位置显示和三角测量
- 3D数学--矩阵知识
- lombok造成的StackOverflowError
- 分布式发布订阅消息系统 Kafka 架构设计 - 目前见到的最好的Kafka中文文章
- 概率算法（算法分析与设计）
- Learning HBase中文版——互动出版网
- 【Linux基础】vim配置及插件安装管理
- ios端app性能测试（cpu/内存/耗电）
- cocoaPods安装以及使用过程
- iOS设计模式——Category
