poisson方程组矩阵
来源:互联网 发布:2006年网络歌曲大全 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 06:53
列出公式,然后离散化。最后对每个像素都满足公式,所以能得到稀疏矩阵A。
矩阵A为弱对角占优矩阵。比如若其中对角线为4,则该行其它元素有4个-1,其它均为0。
由于有边界条件,边界值已知,所以对于公式中的fq若是边界值,则可以移到右边去。
所以最终矩阵A满足:某一些行为强对角占优,其它行为弱对角占优。
则矩阵A很容易看出为对称矩阵。 并且,是非奇异矩阵。
大致证明思路:
令Ax=0,则A非奇异等价于Ax=0只有零解。(高等代数)
Ax=0肯定有解(至少有0解)。 则解x分量里有个绝对值最大的分量xk,考虑该分量所在行是弱对角占优(若在强对角占优,则会推出该分量为0),则有其它非对角元素所对应的分量值大小均为xk。然后不断扩散出去。最后所有分量值均为xk。 并且在强对角占优的那行会推出xk=0。
从而x=0。所以Ax=0推出x=0。所以Ax=0只有零解。所以A非奇异。
已经得到A为实对称非奇异矩阵,下证A为正定矩阵。
利用圆盘定理:
由圆盘定理可以轻易得到,
由于对角线元素都大于0,且为弱对角占优矩阵。所以所有特征值均在[0,a]区间里a为某常数。即特征值为非负数。此时已经可以得到矩阵为半正定矩阵。
并且特征值不能为0,否则,Ax=0有非零解,与A非奇异矛盾。
或者由定理 特征值之和为矩阵对角线元素之和,特征值之积为矩阵行列式值,A非奇异,所以行列式不为0,所以特征值不为0。
所以特征值均为正数。从而得到A为对称正定矩阵(对称正定矩阵必为非奇异矩阵)。
类似形式的矩阵,都能类似得到,矩阵为对称正定矩阵,非奇异。
圆盘定理对于特征值范围的估计作用还是非常大的。
还有圆盘第二定理:
圆盘定理的应用例子可以看链接中的那些样例,可以理解的更深刻一些。
圆盘定理
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