CF 257Div.1 E (449E)

Description：

      在平面直角坐标系中，四个端点为 (x,y),(x+1,y),(x,y+1),(x+1,y+1) 的正方形称为单位正方形。之后我们考虑所有端点在 (0,0)∼(N,M) (N,M<=106)范围内的正方形，所有被其包含完全包含的单位正方形，都会被放上一个标记，问一共被放了多少个标记。
      
      
      

Solution：

      
      由对称性不妨设 N<=M 首先考虑如下绿色正方形：
      令我们令外面的正方形的边长为 L ，中间画出的小三角形的竖直边为 i ，设其对答案的贡献为 f(L,i)，那么:
      

f(L,i)=(L−2i)2+2[i∗(L−i)−L+gcd(i,L)]=L2−2i∗L+2i2+2gcd(i,L)

      那么 ANS=∑min(N,M)L=1(N−L+1)∗(M−L+1)∑Li=1f(L,i)

                        =∑N)L=1(N−L+1)∗(M−L+1)∑Li=1L2−2i∗L+2i2+2gcd(i,L)

                        =∑NL=1[(N+1)∗(M+1)+(N+M+2)∗L+L2]∑Li=1L2−2i∗L+2i2+2gcd(i,L)

      又 ∑Li=1gcd(i,L)=∑i|Li∗φ(Li)，所以我们可以很容易的求出这些前缀和。之后我们只需要求出 ANS 表达式中的所有项的前缀和然后做到 O(1) 询问就行了。