排序算法之一：冒泡排序和插入排序

今天偶然间发现了一个问题：对于C语言课本上的冒泡排序算法能不能做一些改进，思考了会，确实是有一点的，就是比较的次数：也就是说，不做改进的冒泡排序（即两个for循环比大小），其比较次数可能会偏多，一部分比较是无意义的，因为在排序过程中，有可能在中间的某一趟排序中没有发生交换行为，其实这个顺序已经好了，但是我们的两个循环还会一直比较下去，所以在这里做一些改进。

/**    普通的冒泡排序*/void Bubble_Sort(int a[],int n){    int i=0,j=0;    int count = 0;//比较计数    for(i = n-1;i >= 0;i-- )    {        for(j = 0;j<i;j++)//一趟冒泡排序        {            count ++;            if(a[j] > a[j+1])            {                Swap(a[j],a[j+1]);            }        }    }    printf("比较次数：%d",count);    printf("\n");}

下面是改进的冒泡，只是增加了一个FLAG，标志是否发生了交换。若无交换，则程序停止。

/**    改进的冒泡排序    如果在某一趟排序中，发现并没有做数据的交换，那么就认为整个排序已经结束了。*/void Bubble_Sort_Plus(int a[],int n){    int i=0,j=0;    int flag;//交换标志，如果发生交换设为1    int count = 0;//比较计数    for(i = n-1;i >= 0;i-- )    {        flag = 0;        for(j = 0;j<i;j++)//一趟冒泡排序        {            count ++;            if(a[j] > a[j+1])            {                Swap(a[j],a[j+1]);                flag = 1;            }        }        if(flag == 0) break;    }    printf("比较次数：%d",count);    printf("\n");}

其中用到的两个函数：Swap()和Printf(),复制交换和打印，代码也很简单，一块贴上来。

/**    交换函数*/void Swap(int&a,int&b){    a = a + b;    b = a - b;    a = a - b;}/**    打印数组*/void Printf(int a[],int n){    for(int i=0;i<n;i++)    {        printf("%d\t",a[i]);    }    printf("\n");}

下面是插入排序的代码。

/**    插入排序    时间复杂度    最好的情况：顺序 T=O(N)    最坏的情况：逆序 T=O(N^2)*/void Insertion_Sort(int a[],int length){    int tmp = 0;    int i,j;    for(i = 1;i<length;i++ )    {        tmp = a[i];        for(j = i;i>0 && a[i-1]>tmp;i--)        {            a[i] = a[i-1];        }        a[i] = tmp;    }}

插入排序的思想和我们打扑克拿牌差不多。比入我们先拿到第一张牌，相当于数组的a[0]，这个时候不必排序，也就是我们的i从1开始，然后拿到第二张牌，与第一张牌相比较，如果第二张牌比第一张牌小，那么就需要将第一张牌往后挪位置，将第二张牌插到第一章的左边，以此类推。

另外，说一下时间复杂度的计算。先引入一个概念：

逆序对：设 A 为一个有 n 个数字的有序集 (n>1)，其中所有数字各不相同。如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，则 （A[i], A[j]） 这个有序对称为 A 的一个逆序对，也称作逆序数。

定理1：任意N个不同元素组成的序列平均具有N(N-1)/4 个逆序对。

定理2：任何仅以交换相邻元素来排序的算法，其平均时间复杂度为O(N^2).

所以，上面的两个排序算法的时间复杂度都是O(N^2)。