codeforces573D. Bear and Cavalry

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思路：首先如果没有限制，那么根据排序不等式，肯定按顺序匹配战士和马最好。

但是现在有了战士不能和自己的马匹配的限制。

于是就有了一个重要的性质：

最优匹配的前提下，排序后第i号战士只会与[i-2,i+2]号马匹配

至于证明，可以自己YY，也可以分情况讨论（好像很复杂...）

于是就可以DP了，设f[i]表示1-i号战士正好和1-i号战马匹配

记ban[i]表示第i号战士不能匹配的战马

那么转移方程就是：

f[i]=max{

f[i-1]+a[i]*b[i];(ban[i]!=i)

f[i-2]+a[i]*b[i-1]+a[i-1]*b[i];(ban[i]!=i-1)

f[i-3]+a[i]*b[i-2]+a[i-1]*b[i]+a[i-2]*b[i-1](ban[i]!=i-2&&ban[i-1]!=i&&ban[i-2]!=i-1)

f[i-3]+a[i]*b[i-1]+a[i-1]*b[i-2]+a[i-2]*b[i](ban[i]!=i-1&&ban[i-1]!=i-2&&ban[i-2]!=i)

}

然后每次DP一遍，复杂度O（qn），加一些常数优化就可以过了。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>typedef long long ll;const ll inf=1ll<<60;const int maxn=30010;using namespace std;struct node{ll v;int id;//价值，不能匹配的编号 }a[maxn],b[maxn];int n,q,posa[maxn],posb[maxn],ban[maxn];ll f[maxn],w1[maxn],w2[maxn],w3[maxn];bool cmp(node a,node b){return a.v<b.v;}void calc(int i){w1[i]=w2[i]=w3[i]=-inf;if (i>=1&&ban[i]!=i) w1[i]=a[i].v*b[i].v;if (i>=2&&ban[i]!=i-1&&ban[i-1]!=i) w2[i]=a[i].v*b[i-1].v+a[i-1].v*b[i].v;if (i>=3){if (ban[i]!=i-2&&ban[i-1]!=i&&ban[i-2]!=i-1)w3[i]=a[i].v*b[i-2].v+a[i-1].v*b[i].v+a[i-2].v*b[i-1].v;if (ban[i]!=i-1&&ban[i-1]!=i-2&&ban[i-2]!=i)w3[i]=max(w3[i],a[i].v*b[i-1].v+a[i-1].v*b[i-2].v+a[i-2].v*b[i].v);}}int main(){scanf("%d%d",&n,&q);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&a[i].v),a[i].id=i;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&b[i].v),b[i].id=i;sort(a+1,a+1+n,cmp),sort(b+1,b+1+n,cmp);for (int i=1;i<=n;i++) posa[a[i].id]=i,posb[b[i].id]=i;for (int i=1;i<=n;i++) ban[i]=posb[a[i].id];for (int i=1;i<=n;i++) calc(i);//for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ban[i]);for (int j=1,x,y;j<=q;j++){scanf("%d%d",&x,&y);x=posa[x],y=posa[y],swap(ban[x],ban[y]);for (int i=max(1,x-5);i<=min(n,x+5);i++) calc(i);for (int i=max(1,y-5);i<=min(n,y+5);i++) calc(i);f[0]=0;for (int i=1;i<=n;i++){if (i>=1) f[i]=f[i-1]+w1[i];if (i>=2) f[i]=max(f[i],f[i-2]+w2[i]);if (i>=3) f[i]=max(f[i],f[i-3]+w3[i]);}printf("%I64d\n",f[n]);}return 0;}/*4 1570 46 78 6990 93 83 112 33 44 13 14 33 12 43 13 23 42 31 21 44 11 2*/

然而还有更优的写法，用矩阵乘法+线段树优化

观察转移方程

f[i]=max{

f[i-1]+a[i]*b[i]; (ban[i]!=i)

f[i-2]+a[i]*b[i-1]+a[i-1]*b[i];  (ban[i]!=i-1)

f[i-3]+a[i]*b[i-2]+a[i-1]*b[i]+a[i-2]*b[i-1]; (ban[i]!=i-2&&ban[i-1]!=i&&ban[i-2]!=i-1)

f[i-3]+a[i]*b[i-1]+a[i-1]*b[i-2]+a[i-2]*b[i]; (ban[i]!=i-1&&ban[i-1]!=i-2&&ban[i-2]!=i)

}

可以发现f[i]只与f[i-1],f[i-2],f[i-3]有关

我们于是联想到可以用一个3*3的矩阵来转移

而每次修改又只会影响几个转移矩阵

于是可以用线段树维护区间矩阵乘法，修改时就暴力改动那几个矩阵

但是这里的矩阵乘法和平时的乘法有些不同

现在乘法的定义是：c=a*b

c[i][j]=max(a[i][k]+b[k][j])

而正常的定义是

c[i][j]=Σ(a[i][k]*b[k][j])

我们现在只要证它有结合律就可以用线段树来维护区间乘法

令F=(a*b)*c,G=a*(b*c)

那么就有

F[i][j]=max(max(a[i][u]+b[u][v])+c[v][j])

G[i][j]=max(a[i][u]+max(b[u][v]+c[v][j]))

因为max和+有结合律，+对max有分配律

max((max(a,b)),c)=max(a,max(b,c))

(a+b)+c=a+(b+c)

max(a,b)+c=max(a+c,b+c)

于是G[i][j]=max(max(a[i][u]+b[u][v])+c[v][j])=F[i][j]

那么我们就证明了这种矩阵乘法有结合律

于是就可以上线段树解决了

具体细节：

如果不能转移就填-1

转移矩阵就是

-1 -1 case(i-2)

0 -1 case(i-1)

-1 0 case(i)

-1 -1 -1          *-1 -1 case(i-2)=-1 -1 -1

-1 -1 -1            0 -1 case(i-1)   -1 -1 -1

f[i-2] f[i-1] f[i]   -1 0 case(i)      f[i-1] f[i] f[i-2]

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define ls (p<<1)#define rs ((p<<1)|1)#define mid ((l+r)>>1)const int maxn=30010,maxt=maxn<<2;typedef long long ll;using namespace std;int n,q,posa[maxn],posb[maxn],ban[maxn];struct node{ll v;int id;}a[maxn],b[maxn];bool cmp(node a,node b){return a.v<b.v;}struct matrix{ll mat[3][3];void clear(){memset(mat,-1,sizeof(mat));}};matrix operator *(matrix a,matrix b){matrix res;res.clear();for (int i=0;i<3;i++)for (int k=0;k<3;k++) if (a.mat[i][k]!=-1)for (int j=0;j<3;j++) if (b.mat[k][j]!=-1)res.mat[i][j]=max(res.mat[i][j],a.mat[i][k]+b.mat[k][j]);return res;}matrix get_matrix(int i){matrix c;c.clear();c.mat[1][0]=c.mat[2][1]=0;if (ban[i]!=i) c.mat[2][2]=a[i].v*b[i].v;if (i<=1) return c;if (ban[i]!=i-1) c.mat[1][2]=a[i].v*b[i-1].v+a[i-1].v*b[i].v;if (i<=2) return c;ll v1=-1,v2=-1;if (ban[i]!=i-1&&ban[i-1]!=i-2&&ban[i-2]!=i) v1=a[i].v*b[i-1].v+a[i-1].v*b[i-2].v+a[i-2].v*b[i].v;if (ban[i]!=i-2&&ban[i-1]!=i&&ban[i-2]!=i-1) v2=a[i].v*b[i-2].v+a[i-1].v*b[i].v+a[i-2].v*b[i-1].v;c.mat[0][2]=max(v1,v2);return c;}struct Segment_Tree{matrix t[maxt];void build(int p,int l,int r){//printf("%d %d %d\n",p,l,r);if (l==r){t[p]=get_matrix(l);return;}build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);t[p]=t[ls]*t[rs];}void modify(int p,int l,int r,int a){if (l==r){t[p]=get_matrix(l);return;}if (a<=mid) modify(ls,l,mid,a);else modify(rs,mid+1,r,a);t[p]=t[ls]*t[rs];}void modify(int a){modify(1,1,n,a);}ll query(){return t[1].mat[2][2];}}T;int main(){scanf("%d%d",&n,&q);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&a[i].v),a[i].id=i;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&b[i].v),b[i].id=i;sort(a+1,a+1+n,cmp),sort(b+1,b+1+n,cmp);for (int i=1;i<=n;i++) posa[a[i].id]=i,posb[b[i].id]=i;for (int i=1;i<=n;i++) ban[i]=posb[a[i].id];T.build(1,1,n);/*for (int i=1;i<=n;i++,puts("")){printf("%d\n",i);matrix c=get_matrix(i);for (int j=0;j<3;j++,puts(""))for (int k=0;k<3;k++) printf("%lld ",c.mat[j][k]);}*/for (int x,y;q;q--){scanf("%d%d",&x,&y),x=posa[x],y=posa[y],swap(ban[x],ban[y]);for (int i=max(1,x-2);i<=min(x+2,n);i++) T.modify(i);for (int i=max(1,y-2);i<=min(y+2,n);i++) T.modify(i);printf("%I64d\n",T.query());}return 0;}