hdu 1024 Max Sum Plus Plus

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

Max Sum Plus Plus

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S₁, S₂, S₃, S₄ ... S_x, ... S_n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S_i + ... + S_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i₁, j₁) + sum(i₂, j₂) + sum(i₃, j₃) + ... + sum(i_m, j_m) maximal (i_x ≤ i_y ≤ j_x or i_x ≤ j_y ≤ j_x is not allowed).

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i_x, j_x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

 

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S₁, S₂, S₃ ... S_n.
Process to the end of file.

 

Output

Output the maximal summation described above in one line.

 

Sample Input

1 3 1 2 32 6 -1 4 -2 3 -2 3

 

Sample Output

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本题的大致意思为给定一个数组，求其分成m个不相交子段和最大值的问题。

设Num为给定数组，n为数组中的元素总数，Status[i][j]表示前i个数在选取第i个数的前提下分成j段的最大值,第j个数有两种情况：①和前边的数在一个字段内，Status[i-1][j]+Num[i]，②自己成立一段，找到前边最大的一段，从之后开始，Max(Status[0][j-1]--Status[i-1][j-1])+Num[i]，其中1<=j<=i<=n && j<=m，状态转移方程为：

Status[i][j]=Max(Status[i-1][j]+Num[i]，Max(Status[0][j-1]--Status[i-1][j-1])+Num[i])

乍看一下这个方程挺吓人的，因为题中n的限定范围为1--1,000,000而m得限定范围没有给出，m只要稍微大一点就会爆内存。但仔细分析后就会发现Status[i][j]的求解只和Status[*][j]与Status[*][j-1]有关所以本题只需要两个一维数组即可搞定状态转移。

在进行更进一步的分析还会发现其实Max(Status[0][j-1]~Status[i-1][j-1])根本不需要单独求取。在求取now_Status（保存本次状态的数组）的过程中即可对pre_Status（保存前一次状态的数组）进行同步更新。

 

 

状态dp[i][j]

有前j个数，组成i组的和的最大值。

决策： 第j个数，是在第包含在第i组里面，还是自己独立成组。

方程 dp[i][j]=Max(dp[i][j-1]+a[j] , max( dp[i-1][k] ) + a[j] ) 0<k<j

空间复杂度，m未知，n<=1000000，  继续滚动数组。

时间复杂度 n^3. n<=1000000.  显然会超时，继续优化。

max( dp[i-1][k] ) 就是上一组 0....j-1 的最大值。我们可以在每次计算dp[i][j]的时候记录下前j个

的最大值 用数组保存下来  下次计算的时候可以用，这样时间复杂度为 n^2.

#include <cstring>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <limits>#include <queue>#include <stack>#include <vector>#include <map>using namespace std;#define N 1400000#define INF 0x3f3f3f3f#define PI acos (-1.0)#define EPS 1e-8#define met(a, b) memset (a, b, sizeof (a))typedef long long LL;int a[N], dp[N], maxn[N], maxnn;int main (){    int m, n;    while (scanf ("%d %d", &m, &n) != EOF)    {        met (dp, 0);        met (maxn, 0);        for (int i=1; i<=n; i++)            scanf ("%d", &a[i]);        for (int i=1; i<=m; i++)        {            maxnn = -INF;            for (int j=i; j<=n; j++)            {                dp[j] = max (dp[j-1], maxn[j-1]) + a[j];                maxn[j-1] = maxnn;                maxnn = max (maxnn, dp[j]);            }        }        printf ("%d\n", maxnn);    }    return 0;}