同余问题（2）逆元，孙子定理

来源：互联网发布：网络运营专业技能编辑：程序博客网时间：2024/04/28 17:35

定理：如果a,b和c是正整数，且 $(a,b)=1 \qquad and\qquad a|bc$ 那么有 $a|c$

推导： $(a,b)=1 \longrightarrow ax+by=1 \longrightarrow acx+bcy=c$

因为 $a|bc \qquad and \qquad a|ac$ ，所以， $a|c.$

进一步推出结论：如果a,b,c 和m是整数，且m>0，d=(c,m)， $ac\equiv bc(mod~m)$ ，有 $a\equiv b(mod~m/d).$
推导：

$ac\equiv bc (mod~m) \longrightarrow m|(ac-bc) \\and~because ~d=(c,m) \longrightarrow \frac{m}{d}|(a-b)\frac{c}{d}, 1=(c/d,m/d)\\\longrightarrow \frac{m}{d}|(a-b) \longrightarrow a \equiv b(mod~m/d)$

由此产生的新推论：if a,b,c and m are integers such that m>0，(c,m)=1，and $ac\equiv bc(mod~m)$ , then $a \equiv b(mod~m)$ .

数字变大：ifa,b,c and m are integers such that k>0, m>0,and $a \equiv b (mod~m),~then~a^k \equiv b^k (mod ~m)$
推导：
$a^k-b^k=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}) ~and~ m|a-b \longrightarrow m|a^k-b^k \longrightarrow a^k \equiv b^k (mod ~m)$

有趣的相关定理：
if $a \equiv b(mod~m_1), a \equiv b(mod~m_2),\cdots ,a \equiv b(mod~m_k )$ , then $\\a \equiv b (mod [m_1,m_2,\cdots, m_k])$ { $[m_1,m_2,\cdots, m_k]$ means the least common multiple of $m_1,m_2,\cdots , m_k$ }
推导：
$\\a-b = m_1t_1\\a-b = m_2t_2\\\cdots \\a-b = m_kt_k\\we~have~(a-b)^k=\prod \limits_{i=1}^n m_it_i\\for~d=(m_1,m_2,\cdots,m_k), d[m_1,m_2,\cdots,m_k]=\prod \limits_{i=1}^n m_it_i\\then~(a-b)^k=d \prod \limits_{i=1}^n t_i [m_1,m_2,\cdots,m_k]\\\longrightarrow [m_1,m_2,\cdots,m_k]|a-b \longrightarrow a \equiv b (mod [m_1,m_2,\cdots, m_k])$
由此得出结论，如果所有的mi，mj两两互素，那么 $a \equiv b (mod ~m_1m_2\cdots m_k)$

一元线性同余方程 $ax\equiv b(mod~m)$ 转化成两个变量的线性丢潘图方程： ax+my=b，(a,m)=d, 如果 $d \nmid b$ 那么 $ax \equiv b(mod~m)$ 没有解，否则有d个解，解是 $x=x_0+(m/d)t$ 的形式，其中t=0,1,2……d-1 这d个解即是d个模m剩余类

当 $ax\equiv b(mod~m)$ 中的b=1时，x就是a的逆。对于一元线性同余方程，使用拓展欧几里得可以求出结果，使用逆元也能得出结论。设 $\overline a a\equiv 1(mod~m)$ 那么， $\overline a a x\equiv \overline a b (mod~m)$ 即 $x\equiv \overline a b(mod~m)$ 问题就转化成了求解a的逆若 $a \equiv \pm 1(mod~m)$ 那么a就是自身的逆。这很好理解啊。。（两者联系思考）这时， $a^2\equiv 1(mod~m)$ 1为模m的二次剩余【二次剩余： if (a,m)=1, $x^2 \equiv a(mod~m)$ a为模m的二次剩余】

重要转化： $\frac{a}{b}(mod ~m)$ 等价于 $a(mod~mb)/b$
推导：
$\\\frac{a}{b}(mod~m)=c~~~~\frac{a}{b}+mk=c \longrightarrow a+mbk=bc ~~~~a\equiv bc(mod~mb)\longrightarrow a(mod~mb)/b=c \longrightarrow \frac{a}{b}(mod ~m)=a(mod~mb)/b$

逆元的递推：设 $\overline{i}$ 是i模M的一个逆，那么有 $\overline{i}=(M-M/i)\times \overline{M\%i}~\%M$ 。
证明：设 $M/i=a, ~M\%i=b$
$\\ai+b\equiv 0(mod~M)\\ai\equiv -b(mod~M)\\\frac{a}{b}\equiv - \overline i(mod~M) \longrightarrow a \times\overline{M\%i} \equiv -\overline{i} (mod~M)\\M/i \times\overline {M\%i} \equiv - \overline i (mod~M)\\ \overline i\equiv -M/i\times \overline{M\%i}(mod~M)\\ \overline i \equiv (M-M/i)\times \overline {M\%i}(mod~M) \longrightarrow \overline{i}=(M-M/i)\times \overline{M\%i}~\%M$

练习：zoj 3609 Modular Inverse

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3609

分析：由ax≡1(mod m) 可以得到ax+mk=1，现在要求x的最小正整数，即求上式逆元。

#include <iostream>#include<cstdio>using namespace std;void extend_Eu(int a,int b,int &f,int &x,int &y){    if(b==0){        x=1;        y=1;        f=a;        return ;    }    extend_Eu(b,a%b,f,x,y);    int t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;}int main(){    //freopen("cin.txt","r",stdin);    int T,a,m;    while(cin>>T){        while(T--){            int b,f,x,y;            scanf("%d%d",&a,&m);            b=m;            extend_Eu(a,b,f,x,y);             if(f!=1){  cout<<"Not Exist\n"; continue; } //if(gcd(a,x)!=1)            while(x<0){                x+=b;            }            cout<<x<<endl;        }    }    return 0;}

nefu 84 五指山

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=84

分析：有条件可列出等式，dk1+x=y+nk2 <-->dk1+nk2=y-x 大圣至少要翻的筋斗数就是k1的值。明显，这是拓展欧几里得。（Extend_gcd）

import java.util.*;public class Main { static long gcd(long a,long b){  return b!=0?gcd(b,a%b):a; }    static long Extend_Eulid(long d,long f)      {          long x1=1,x2=0,x3=f,y1=0,y2=1,y3=d ;          while(y3>0 && y3!=1)          {              long q=x3/y3 ;              long t1,t2,t3 ;              t1=x1-q*y1;            t2=x2-q*y2;            t3=x3-q*y3;              x1=y1;            x2=y2;            x3=y3 ;              y1=t1;            y2=t2;            y3=t3 ;          }          if(y3==0)return -1 ;          return y2 ;      }   public static void main(String[] args) {     long t,n,d,x,y;     Scanner sc=new Scanner (System.in);     t=sc.nextLong();        for(int i=0;i<t;i++){         n=sc.nextLong();         d=sc.nextLong();         x=sc.nextLong();         y=sc.nextLong();         long c=(y-x+n)%n;         long gd=gcd(d,n);         if(c%gd!=0){          System.out.println("Impossible");          continue;         }         d/=gd;         n/=gd;         long res=Extend_Eulid(d,n);         if(res<0) res+=n;         res=res*(c/gd)%n;         System.out.println(res);        }          }}

中国剩余定理（孙子定理）：
对于方程

其中 $m_i~和~m_j$ 两两互素，x具有解： $x=a_1M_1y_1+a_2M_2y_2+\cdots+a_rM_ry_r=\sum\limits_{i=1}^{r}a_iM_iy_i$ 其中 $M_k = \prod\limits_{i=1}^{r}m_i/m_k$ ,yk是Mk模mk下的逆。很好理解啊。。

中国古代求解一次同余式组的方法：

数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即：已知 n%3=2, n%5=3, n%7=2, 求n。（假设除数两两互质）
令x= n%3=2 ， y= n%5=3 ，z= n%7=2
使5×7×a被3除余1，有35×2=70，即a=2；
使3×7×b被5除余1，用21×1=21，即b=1；
使3×5×c被7除余1，用15×1=15，即c=1。

那么n =（70×x+21×y+15×z）%lcm(3,5,7) = 23 这是n的最小解。

用程序实现：

#include <iostream>#include<cstdio>using namespace std;int gcd(int a,int b){    return b?gcd(b,a%b):a;}int get(int a,int b,int c){    int lc=a*b/gcd(a,b),ans=lc;    while(ans%c!=1){        ans+=lc;    }    return ans;}int main(){    int m[3]={3,5,7},n[3]={2,3,2};  //m,n分别代表除数和余数    //int m[3]={23,28,33},n[3]={283,102,23};    int r=gcd(gcd(m[0],m[1]),m[2]),D=m[0]*m[1]*m[2]/r;    int q1=get(m[1],m[2],m[0]),q2=get(m[0],m[2],m[1]),q3=get(m[0],m[1],m[2]);    printf("%d\n",(q1*n[0]+q2*n[1]+q3*n[2])%D);    return 0;}

例题：poj 1006 Biorhythms
题意：http://poj.org/problem?id=1006

#include <iostream>#include<cstdio>using namespace std;int get(int a,int b,int c){    int lc=a*b,ans=lc;    while(ans%c!=1){        ans+=lc;    }    return ans;}int main(){    //freopen("cin.txt","r",stdin);    int p,e,i,d,k=0; // 23, 28, and 33    int pd=get(28,33,23),ed=get(23,33,28),id=get(23,28,33);    while(~scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d)){        if(p==-1)break;        int ans=(pd*p+ed*e+id*i)%21252;        ans=(ans-d+21252)%21252; //防止负数的产生。        if(ans==0)ans+=21252;  //防止得出的结果和题目给出的日期一样。        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",++k,ans);    }    return 0;}

拓展的问题：一元线性同余方程组，见http://blog.csdn.net/thearcticocean/article/details/49452859

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