BZOJ2440 莫比乌斯反演 + 二分+ 容斥
来源:互联网 发布:源码授权域名绑定ip 编辑:程序博客网 时间:2024/06/13 09:14
第一次做莫比乌斯反演,并不太懂,先记录一下,
x以内i*i的倍数个数为:n/(i*i);故有 Q(x) = sig(mou[i] * n / (i* i));
根据容斥原理可知 对于√x以内的所有质数 x以内的无平方因子数=无需是任何质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...
原题解
题目分析:题目要求第k个无平方因子数,我们显然不可能把答案都求出来再查询,这个数据范围首先想到的是二分,对于第1-n的无平方因子数我们可以用容斥定理得到,拿总的个数减去4的倍数(-n/4个),减去9的倍数(-n/9个),但是36既是4的倍数又是9的倍数,被减了两次,要加回来(+n/36),这样容斥就出来了,前面的符号正好和数字开根号后对应的莫比乌斯函数相同,这样问题就简单了,还有一点要说明的是二分的上界开多大,这个也影响着莫比乌斯函数要开多大,我们不妨假设第k个无平方因子数不会超过2k,具体证明我也不会,但是最小的平方因子是4,也就是说每4个数里必然有一个是平方因子数,同时因为平方因子越往后越大,可以yy出平均每四个数有不超过两个平方因子数这个结论,所以第k个无平方因子数不会超过2k,(其实打表也可验证),所以二分上界取2k+1即可,莫比乌斯函数开sqrt(2e9)差不多5e4的样子
#include <iostream>#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXN 100100//#define for(i , l , r) for(int i = l ; i <= r ; i ++ )#define LL long long#define mem(a) memset(a , 0 , sizeof(a));int mou[MAXN] , p[MAXN];bool prime[MAXN];void mobius(){ int pnum = 0; memset(prime , true , sizeof(prime)); mou[1] = 1; // time_t per = clock(); for(int i = 2 ; i < MAXN ; i ++) { if(prime[i]) { mou[i] = -1; p[pnum++] = i; } for(int j = 0 ; j < pnum && i * p[j] < MAXN ; j ++) { prime[i * p[j]] = false; if(i % p[j] == 0) { mou[i*p[j]] = 0; break; } mou[i*p[j]] = -mou[i]; } } // time_t now = clock(); // cout << now - per << endl;}LL solve(LL mid){ LL pos = 0; for(int i = 1 ; i * i <= mid ; i ++) { pos += (LL)mou[i]*(mid/(i*i)); } return pos;}int main(){ mobius(); int t ; LL k; scanf("%d" , &t); while(t--) { scanf("%lld" , &k); LL l = 1 , r = 2*k + 1; while(l <= r) { LL mid = (l + r) >> 1; if(solve(mid) < k) l = mid + 1; else r = mid - 1; } printf("%lld\n" , l); } return 0;}
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