Gamma分布

Gamma函数可以看作是整数阶乘在实数上的扩展，其定义为

Γ(a)=∫∞0xa−1e−xdx.

使用部分积分法，可以得到

Γ(n)=(n−1)!

对Gamma函数进行变换，可以得到

∫∞0xa−1e−xΓ(a)dx=1.

于是，去积分中的函数作为概率密度函数，就得到最简单的Gamam分布的密度函数

Γ(x|a)=xa−1e−xΓ(a)

对x做变换x=βt，可以得到Gamma分布密度函数的一般形式

Γ(a,β)=βata−1e−βtΓ(a)

一般，将随机变量X服从参数a,β的Gamma分布记为X~Γ(a,β).
独立随机变量的Gamma分布的可加性，即若随机变量X1,X2,...,Xn互相独立，且Xi服从参数a,β(i=1,2,...,n)的Gamma分布，则∑n1Xi服从参数为∑n1ai,β的分布，记为
∑n1Xi ~ Γ(∑n1ai,β)