diif

对于给定的两个字符串，diff就是找出这两个字符串的最小差别，即最短的编辑距离，例如：
S1: a b c d a
S2: a c d a
S1与S2的diff就是S2缺少一个b，最短的编辑距离也就是在S2插入一个b

这个问题与字符串的最长公共字串是等价的，假设S1与S2的公共字串为{(Xi1,Yj1),...,(Xin,Yjn)}，i1 < in
编辑距离为删除从S1中删除Xik与Xik+1中的字符并且插入Yik与Yik+1之间的字符，这个距离是最短的，因此diff和求最长公共字串的问题是等价的

Meyer给出了一个贪心的解，该算法的时间复杂度为o(ND),其中n为字符串的长度，D为差异
该算法如下：
以待比较的两个字符串组成一个矩阵，对该矩阵的每一个坐标定义一个值k=x-y，一个比较结果可以看着对两个串的移动，同时移动两个串，移动一个串，移动另一个串，因此对应到矩阵上就是移动到对角(x++,y++),或者(x++,y),或者(x,y++)，我们可以得到如下结论，因此从(0,0)到(n,m)的一条路径就代表了一个比较结果，假设路径包含了D条非对角线的路径，那么这条路径的终点肯定是{-D,-D+2,....D-2,D}，可以证明如下：数学归纳法很好证明的，从Dpath到D+1，只有两种方式，x++或者y++，如果x++，因此终点是{-D+/1（加减） 1,...,D+/ 1}，因此是{-D-1,-D+1,...,D+1},因此得证。
Dpath的组成可以看做如下：D-1path的末尾以对角结尾，Dpath以x++或者y++开始，接着一个对角串，因此贪心算法为D-1path尽量地远，当某条Dpath到达边界时，算法结束，找到边界。

证明如下：首先是一个直观的理解，当D-1path没有达到最远的时候，如下：
a b c d d a b c
a b c d a b c
d0的终点如果是(c,c),d1的终点也会是最后的两个断点，与d0到达(d,d)是等价的
正式的证明如下：如果D-1不是最远的，那么从一个最远的D-1出发总能通过适当的移动达到最远。！

基于上面的描述一个求diff的过程可以如下：
一个终点为k的DPath，肯定是从终点为k+/ 1的D-1 PATH移动过来的，因此求diff的伪码如下：
for d from 0 to M+N
  for k from -d to d step 2
     find the endpoint of the furthest reaching d-path in diagonal k
     if reaches (N,M)
         find the optimal

改进的代码如下：
1. V[1] = 0                 
2. For D = 0 to MAX Do
3. For k = -D to D in steps of 2 Do
4. If k = -D or k ¹ D and V[k - 1] < V[k + 1] Then
5.     x  = V[k + 1]                  //计算最远的d path的终点为k，从最远的d-1path出发
6. Else
7. x  =  V[k - 1]+1
8. y = x - k
9. While x < N and y < M and a x + 1 = by + 1 Do (x,y) = (x+1,y+1)
10. V[k] = x
11. If x  =  N and y  = M Then
12. Length of an SES is D
13. Stop
14. Length of an SES is greater than MAX

v是一个数组，用来存放每一条路径的终点，由于d path的终点只能是-d到d，所以v的大小为2d，并且v[k]存放终点为k的x坐标，v[1] = 0 存放的是初始化的-1 path，用于计算0path时的值