用分部积分推导梯形数值积分公式

引言

在数值积分中，梯形公式是最基本的公式之一，其代数精度为1。

梯形公式的可以从图形中直接得到，也可以先作两点线性插值然后求积分得到（即梯形公式为插值型求积公式）。由于梯形公式是插值型的，由此可得，当f(x)∈C(2)[a,b]时，梯形公式的余项为

RT=∫baf′′(ξ(x))2(x−a)(x−b)dx

其中，f′′(ξ(x))2(x−a)(x−b)为线性插值余项，ξ(x)∈[a,b]且依赖于x。利用梯形公式的代数精度为1，我们可以进一步得到

RT=−(b−a)312f′′(η(x)),η(x)∈(a,b).

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梯形公式

设f(x)∈C(2)[a,b]，由于

∫baf(x)dx=∫baf(x)d(x−a)=(b−a)f(b)−∫baf′(x)(x−a)dx

及

∫baf(x)dx=∫baf(x)d(x−b)=(b−a)f(a)−∫baf′(x)(x−b)dx

将上面两式相加除以2，得

∫baf(x)dx===b−a2[f(a)+f(b)]−12∫baf′(x)[(x−a)+(x−b)]dxb−a2[f(a)+f(b)]−12∫baf′(x)d[(x−a)(x−b)]b−a2[f(a)+f(b)]+12∫baf′′(x)(x−a)(x−b)dx

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复合梯形公式

设将[a,b]分为n等分，令h=(b−a)/n，xk=a+kh，k=0,1,…,n。由前面的推导，得

∫xk+1xkf(x)dx=h2[f(xk)+f(xk+1)]+12∫xk+1xkf′′(x)(x−xk)(x−xk+1)dx

于是

∫baf(x)dx=Tn+∑k=0n−1∫xk+1xkf′′(x)Pk(x)dx

其中

Tn=h2∑k=0n−1[f(xk)+f(xk+1)]=h2[f(a)+∑k=1n−1f(xk)+f(b)]

Pk(x)={12(x−xk)(x−xk+1),0,xk≤x≤xk+1其他

定义以h为周期的函数P(x)，使

P(x)=P0(x),x∈[x0,x1]

则

∫baf(x)dx==Tn+∑k=0n−1∫xk+1xkf′′(x)Pk(x)dxTn+∫baf′′(x)P(x)dx