椭圆函数与模函数（2012.10出版）（2013-01-16 09:34:57）

20160814添加：
目录
绪论 椭圆曲线及其在密码学中的应用 l
1．引言 l
2．牛顿对曲线的分类
参见数学及其历史第7章第4节牛顿的三次方程分类
一次和二次曲线是直线和圆锥截线。
由解析几何开发的第一个新问题是对三次曲线的研究，它也是第一个被认为是真正属于这个学科的问题。牛顿对这个问题进行了相当完全的分类（1695）[参见鲍尔(Ball,W.W.R.)(1890)的评论]
牛顿（1667）从x和y的一般三次方程ay^3+bxy^2+cx^2y+dx^3+ey^2+fxy+gx^2+hy+kx+l=0出发，经一般的坐标轴变换后导出一个有84项的方程，然后证明后者可以简化为下述形式的方程之一：
Axy^2+By=Cx^3+Dx^2+Ex+F,
xy=Ax^3+Bx^2+Cx+D,
y^2=Ax^3+Bx^2+Cx+D,
y=Ax^3+Bx^2+Cx+D.
接着，牛顿按照[等号]右边[多项式]的根将曲线分成72类（遗漏了6类）。他的文章没有给出详细的证明；斯特林（1717）补上了证明，其中还包括牛顿忽略了的4类。牛顿的分类因缺少一般的分类原则而遭到后世某些数学家，如欧拉的批评。人们肯定需要一个原则，来降低分类的复杂性。实际上，这样的原则已隐含在牛顿（1667）第29节“影子（即投影）生成的曲线”的一个随意的评注中。该原则将三次曲线约化为5种类型，见图71~75[此图选自牛顿出版于1710年的文章的英文译本；参见怀特塞德(Whiteside,D.T.)(1964)].
读者可能想知道最熟悉的三次曲线y=x^3是这5类中的哪一类！回答是：它等价于牛顿的图75——有尖点的图形。
3．椭圆曲线与椭圆积分
4．阿贝尔·雅可比·艾森斯坦和黎曼
5．椭圆曲线的加法 1l
6．椭圆曲线密码体制
第3章 维尔斯特拉斯函数
12．维尔斯特拉斯函数ζ(u)
参见椭圆函数及其应用第3章拟椭圆函数第1节Zeta函数ζ(u)
拟椭圆函数从严格的定义上看均不属于椭圆函数。
在有的书籍中，引入第二种和第三种椭圆函数的概念。而函数σ属于第三种椭圆函数。参见沈睿：椭圆函数概论，1982,P.101-109。
ζ(u)是由椭圆函数求积分而得到的。
ζ(u)是奇函数，不是椭圆函数，不具有周期性，既无周期2ω_1，又无周期2ω_2。
13，维尔斯特拉斯函数σ(u)
参见椭圆函数及其应用第3章拟椭圆函数第2节Sigma函数σ(u)
σ(u)与其他拟椭圆函数存在简单的关系。
当积分下限固定时，∫ζ(u)du不是积分上限的单值函数。可将其定义为一个函数的对数，该函数即σ(u)，写作lnσ(u)=∫[0,u]ζ(u)du或ζ(u)=σ'(u)/σ(u)
σ(u)是整函数，又是奇函数。
14．用函数σ(u)或用函数ζ(u)表示任意的椭圆函数
15．维尔斯特拉斯函数的加法定理
16．用函数P及P'表示各椭圆函数
参见椭圆函数及其应用第2章二阶椭圆函数第1节卫尔斯特拉斯函数
P是二阶椭圆函数，是偶函数。
P'是三阶椭圆函数，是奇函数。
17．椭圆积分
第4章 西塔函数
参见椭圆函数及其应用第3章拟椭圆函数第4节Theta函数、第5节卫尔斯特拉斯函数与θ函数
Theta函数具有一个实数周期，而且可以表示为收敛很快的级数式。
Theta函数是由雅可比定义的，最初他在1829年引入Theta函数Θ(u)和H(u)，用的是规一化格阵2K,2iK'。后来雅可比看到用v=u/2K作为变量的优越性。
这样就得到了4个Theta函数。
具有特征参量a，b的一般Theta函数的理论是埃尔米特继雅可比之后于1858年引入的。
18．西塔函数的无穷乘积表示
19．西格玛函数与西塔函数的关系
20．函数θ(u)及θ(u)的单级数展开式
21．量e1,e2,e3用西塔函数零值的表示式
22．西塔函数的变换



20121225问：已知g_2,g_3,求T,T',tau？
半周期w_1(g_2,g_3),w_3(g_2,g_3)
w_1(-1,0)=[(1+i)/(4sqrt(2pi))]Γ(1/4)^2，w_3(-1,0)=[(-1+i)/(4sqrt(2pi))]Γ(1/4)^2
w_1(1,0)=[1/(4sqrt(pi))]Γ(1/4)^2，w_3(1,0)=[i/(4sqrt(pi))]Γ(1/4)^2
w_1(0,1)=[1/(4pi)]Γ(1/3)^3，w_3(0,1)=[(1+sqrt(3)i)/(8pi)]Γ(1/3)^3
cout<<detail::g2(fcomplex(0,2),fcomplex(1,0))<<endl;//(129.987,0)
cout<<detail::g3(fcomplex(0,2),fcomplex(1,0))<<endl;//(284.355,-0)
//相应于半周期{ω,ω’}对魏尔斯特拉斯椭圆函数给出不变量{g_2,g_3}
输入：WeierstrassInvariants[T/2=ω=1,T'/2=ω'=2i]
输出：g_2=8.12422,g_3=4.44305
  cout<<detail::g2(fcomplex(0,2),fcomplex(2,0))<<endl;//(8.12422,0)
  cout<<detail::g3(fcomplex(0,2),fcomplex(2,0))<<endl;//(4.44305,-0)
考虑模形式g_2=12.7695,g_3=-4.59211下的双周期函数P(z,g_2,g_3)：
P(z=0.5,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=
P(z=0.5,tau=0.859743i,w_1=2.156516)=
P(z=0.5,w_1=2.156516,w_2=1.854049i)=4.151395（模形式g_2=12.7695,g_3=-4.59211下的双周期函数）
tau=w_2/w_1=0.859743i
P(z=0.5,tau=0.859743i,w_1=1)=7.294863（另外一组模形式下的双周期函数）
P(z=0.5,tau=0.859743i,w_1=8.626062)=4.000621（另外一组模形式下的双周期函数）
P(z=-8.5,w_1=2.156516,w_2=1.854049i)=62.934325(错误值62.925814)=P(z=-8.5,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9269
按照c++和jsp计算的结果：
最小实周期T=2.156516，最小虚周期T'=1.854049i
相差1个实周期T=2.156516：P(z=-6.343484)=62.934325
jsp：P(z=-6.343484,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9287
相差1个虚周期T'=1.854049i：P(z=-8.500000+1.854049i)=62.934325-0.000998i
jsp：P(z=-8.5+1.85405i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9269+0.0014i
相差1/2个实周期T/2=1.078258：P(z=-7.421742)=1.636863
jsp：P(z=-7.421742,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=1.63687
相差1/2个虚周期T'/2=0.9270245i：P(z=-8.500000+0.9270245i)=-1.819202
jsp：P(z=-8.5+0.927025i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=-1.81919-0.10^(-5)*i
相差4个实周期4T=8.626062：P(z=0.126062)=62.936321(错误值62.925814)=P(z=0.126062,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9363
相差4个虚周期4T'=7.416195i：P(z=-8.500000+7.416195i)=62.934325+0.000998i(错误值62.925814)
jsp：P(z=-8.5+7.4162i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9369+0.0064i
相差2个实周期2T=4.313031：P(z=-4.186969)=62.935323(错误值0.098298)
jsp：P(z=-4.186969,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9363
相差2个虚周期2T'=3.708098i：P(z=-8.500000+3.708098i)=62.934325(错误值-0.121051)
jsp：P(z=-8.5+3.7081i,g_2=12.7695,g_3=-4.59211)=62.9269+0.0027i
20121225注意：P函数、模形式g_2、g_3等数学函数的c++和jsp实现中，参数w_1,w_2是指最小实周期T，最小虚周期T'，即P(z,w_1,w_2)=P(z,T,T')。
w_1=T,w_2=T'这里指周期，不是指半周期：
P(z=0.5,w_1=8.626062=T,w_2=7.416195i=T')=4.000621
P(z=0.5,k=0.8660254)=P(z=0.5,w_1=2.156516=T,w_2=1.685750i=T')=4.197128(正确值)!=4.013195(错误值)
问：构造以K(e=sqrt(3)/2)和K'(e=sqrt(3)/2)为最小实、虚周期的椭圆函数？
①计算自变量为tau=w_2/w_1=0.781701i、0.859743i时的模形式g_2,g_3的值：
g2(tau=0.781701i,w1=2.156516)=(17.3333,0)
g3(tau=0.781701i,w1=2.156516)=(-10.3704,0)
g2(tau=0.781701i,w1=1)=(374.88,0)
g3(tau=0.781701i,w1=1)=(-1043.06,0)
g2(tau=0.859743i,w1=1)=276.176
g3(tau=0.859743i,w1=1)=-461.88
g2(tau=0.859743i,w1=2.156516)=12.7695
g3(tau=0.859743i,w1=2.156516)=-4.59211
已知：
T=w_1=1,T'=w_2=tau=0.859743i=>g_2=276.176，g_3=-461.88
T=w_1=2.156516,T'=w_2=1.854049i=>g_2=12.7695,g_3=-4.59211
20121225观察知：
(g_2)'/(g_2)=1/21.627784956341281960922510669956=1/2.156516^4=((T)/(T)')^4
(g_3)'/(g_3)=1/100.58121430018009150477667129054=1/2.156516^6=((T)/(T)')^6
所以g_2,g_3是-4次和-6次齐次函数，即g_2(λT,λT')=λ^(-4)g_2(T,T')，g_3(λT,λT')=λ^(-6)g_3(T,T')。
定义：把函数的自变量乘以一个因子，如果此时因变量相当于原函数乘以这个因子的幂，则称此函数为齐次函数。
问：
实周期T=w_1=8.626062，虚周期T'=w_2=7.416195i=>g_2=？，g_3=？
②计算自变量为tau=w_2/w_1=0.781701i、0.859743i时的模函数的值：
//fcomplex tau=fcomplex(0,0.859743);
  fcomplex tau=fcomplex(0,0.781701);
  fcomplex retJ=detail::KleinInvariantJ(tau,fcomplex(1.0,0));
  cout<<retJ<<endl;//(2.26029,0)
J(0.781701i)=2.26029
克莱因不变模函数的c++/jsp计算结果：
J(i+2)=J(i+1)=1
问：J(tau)的零点？例如g_2=0,g_3=1
J(tau=i+0)=J(tau=i+1)=J(tau=i+2)=1----双纽线情形g_2=1,g_3=0；伪双纽线情形g_2=-1,g_3=0
J(tau=i+0.859743i)=69.1755
J(0.5i)=J(tau=1+2i,w1=1)=J(tau=2i,w1=1)=(166.375,8.46083e-014)
J(tau=0.859743i)=(1.37635,0)
J(i)=J(1/2+i/2)=1
J(sqrt(2)i)=(5/3)^3
jsp计算结果：
http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp
J(tau=0.859743i=i-0.140257i)=1.37635
J(tau=i-0.5i)=(tau=2i)=166.375
J(tau=i+4.31303)=0.201483-0.121554i
J(tau=i-0.218299i)=2.26029
cout<<detail::K(fcomplex(0,1))<<endl;//(1.31103,0)=K(i)=ω/2
模形式理论中有一个特殊的函数叫j不变量，它可以展开成如下的傅立叶级数，其中每个系数都是整数：
j(z)=1728J(z)=1/q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+…,q=e^(2piiz)
c(n),τ(n)是两个十分重要的数论函数。
它们开头几个值是
c(0)=744,
c(1)=196884,----第二个傅立叶系数196884，正好是Griess代数的维数，也就是魔群的最小忠实线性表示的维数加1。
c(2)=21493760,
这仅仅是个巧合，还是有某种内在的联系？
计算克莱因不变模函数J(tau)的vbs代码(20130707说明：t<1时计算出的J=j/1728值是错误的，例如J(0.5i))：
'j(z=ti)=1/q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+…,q=e^(2piiz)
't=1  '1727.99224869938 .999995514293623
't=1.414  '7990.34481921946 4.624042140752
'WScript.Echo (5/3)^3  '4.62962962962963
't=2  '287496 166.375
'WScript.Echo (11/2)^3 '166.375
't=0.5 '189766.45833945 109.818552279774
t=1.5  '13151.6766830477 7.61092400639335,根据Klein不变模函数J(tau)的性质，有J(1.5i)=J(0.5i)=J(2i)=(11/2)^3=166.375，(20130707说明：J(1.5i)=7.610924,J(0.5i)=J(2i)=(11/2)^3=166.375)
q=exp(-atn(1)*8*t)
j=1/q+744+196884*q+21493760*(q^2)[phone]*(q^3)[phone]*(q^4)
WScript.Echo j,j/1728  
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【内容提要】
本书从一道美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）博士资格考题谈起，详细介绍了椭圆函数以及模函数的相关知识。全书共分为三章，分别为：椭圆函数、模函数、椭圆函数与算术学。
本书可供从事这一数学分支或相关学科的数学工作者、大学生以及数学爱好者研读。
【目录】
第1章  椭圆函数  ∥1
1.1  引言  //1
1.2  二重周期函数及椭圆函数之通性  //5
1.3  魏尔斯特拉斯椭圆函数  //25
1.4  椭圆函数之应用  //54
1.5  雅可比椭圆函数  //67
1.6  雅可比椭圆函数与魏尔斯特拉斯椭圆函数之关系  //114
第2章  模函数  //123
2.1  等价周期偶  //123
2.2  等价平行四边形网  //126
2.3  绝对不变量J  //127
2.4   函数J(tau)在正半平面中为正则  //128
2.5  J(tau)之基本性质   //128
2.6  线性代换  //129
2.7  模群  //131
2.8  模群之基本区域  //133
2.9  对J(tau)之应用  //139
2.10  基本等式    //142
2.11  J(tau)为k^2的函数之式  //143
2.12  J(tau)在tau=i∞邻近之展开  //144
2.13  J(tau)之实值  //144
2.14  在椭圆函数上之应用  //147
2.15  模函数  //148
2.16  椭圆积分的周期之比为其模之函数  //153
第3章  椭圆函数与算术学  //155
3.1  阿贝尔的复形乘法  //158
3.2  克罗内克  //161
3.3  次数为四和三的爱森斯坦因公理  //164
3.4  傅里叶级数和q-微积分   //169
3.5  高斯求和与θ-函数  //174
3.6  克罗内克的有限方程式与费马等式  //176
3.7  丢番图方程式  //180
3.8  结论  //181
编辑手记  //183
【编辑手记】
《文汇报》原总编辑和主笔徐铸成曾说：“钱玄同先生每次上课时，从不看一眼究竟学生有无缺席，用笔在点名簿上一竖到底，算是该到的学生全到了.也从不考试，每学期批定成绩时，他是按点名册的先后，60分，61分……如果选定课程的学生是40人，最后一个就得100分.40人以上呢？重新从60分开始.”从数学角度说钱先生点名是用的常数列，评分用的是周期数列,当然也是周期函数.
本书所论及的椭圆函数也是一种周期函数.不过它是双周期函数，所以世界上第一本椭圆函数方面的专著就叫做《双周期函数理论》，出版于1859年，在数学分支的分类中隶属于代数函数论.
代数函数论现在已经完全淹没在现代数学的汪洋大海之中，很少有人提起了.在1936-1937年度清华大学算学部的选修课程表中序号为1的就是椭圆函数，学分是3个，应预习之学程为分析函数，再后来就少见了.而在19世纪，它却处于数学的中心，涉及椭圆积分及椭圆函数、阿贝尔积分及阿贝尔函数的问题，几乎是评价数学家成就的试金石.许多大数学家之所以在当时了不起，并非由于我们现在所认为的那样，是对数学的一些普遍问题、基础问题提出了正确的观点，而是由于他们在这个领域做出了杰出工作.从高斯、阿贝尔、雅可比、埃尔米特到克莱因、庞加莱，无不因在这个领域有突出贡献而闻名.而黎曼及魏尔斯特拉斯更是因为他们对阿贝尔函数所做的工作而获得他们的名声和职位，而并非如现在人们所认为的那样是他们在几何基础、复变函数论、数论、分析基础等方面的工作.不过，从19世纪末开始，由于数学追求一般性、普遍性、抽象性，代数函数论从分析上归入复变函数论，从几何上归入代数几何学，到20世纪中叶，经一般域论、代数拓扑乃至数论的分解，它已经完全代数化，并随同一般域上的代数曲线论进入了交换代数的范畴.
英国公开大学数学学院的Jeremy Gray在《The Mathematical Intelligencer》(Vol 7.No.3.1985)上发表了一篇题为《一百年前谁会赢得菲尔兹奖》的文章.他在文章中列举了若干位假若菲尔兹奖如果早100年颁发会获奖的数学家.
第一位是埃尔米特，他在借助拉梅（Lamé）方程理论将椭圆函数用于应用数学方面是一位先驱.
第二位是库默尔，他对数学的首要贡献，当然是他的代数理论.但在19世纪30年代，他还在微分方程和椭圆函数上有所成就.
第三位是克罗内克，他家世富有，在大学教课只是因为他身为柏林科学院院士的责任感.弗罗比尼乌斯（Frobenins）在1891年对克罗内克的赞词中，认为克罗内克涉猎太泛了，以至于他在他的每个研究领域都达不到举世无双的水平.当然，他的主要兴趣还是椭圆函数和数论.
第四位是魏尔斯特拉斯，他直至1878年也几乎没发表文章，他在讨论班讲分析的各个分支的课，最主要的内容是关于椭圆函数和阿贝尔函数的.
第五位是凯莱，他跟埃尔米特和富克斯一样，并不看好克莱因所发展的新思想，更偏好椭圆函数理论中的传统思想.
第六位是一个年轻的法国人皮卡(Picard，生于1856年)，事实上，到1881年底为止，皮卡已发表了34篇论文，把埃尔米特关于拉梅方程的思想发展成为拟椭圆函数的理论.
以下论及的更为详细的关于椭圆函数方面的历史脉络及其与现代数学的渊源材料多取自于胡作玄先生的《近代数学史》，说起来令人奇怪，近代数学史贯而通之，能够发表点自己观点的并不是数学科班出身的人或专攻现代数学史的研究人员，反倒是早年毕业于北京大学化学系的胡作玄先生.胡先生点评数学家，论及某项数学成果在历史中的地位及作用精道准确，绝非一般人认为的“无知者无畏”，而是经过在国外研读大量典籍之后的融会贯通.
19世纪初，数学的中心课程集中于椭圆函数及其推广上，它不仅是基本的非初等函数，直接导致代数函数论及代数几何学的发展，而且在数论和数学物理上都有着广泛的应用.
从历史上讲，椭圆函数来源于椭圆积分，是通过椭圆积分反演得到的。这种积分出现在求椭圆弧长的问题中，因此而得名.但实际上它并不局限于求椭圆弧长的问题，求双曲线及双纽线等的弧长同样也遇到椭圆积分.在历史上椭圆是一直令人着迷的，比如19世纪最伟大的理论物理学家麦克斯韦，在15岁写出了他的第一本著作，就是关于以几何方法画椭圆形的.在阿贝尔首先把椭圆积分反演得出椭圆函数之前，一般也把椭圆积分称为椭圆函数或椭圆超越函数，这不过是历史的插曲.
椭圆积分自然出现在求椭圆及双曲线的弧长、单摆的周期、弹性细杆的弯曲等问题当中，但求积分遇到极大困难.莱布尼茨在研究积分法时，曾设想一个“纲领”，即把积分∫f(x)dx都归结为“已知函数”的“封闭形式”，也就是求出由初等函数以有限的加、减、乘、除形式表现出来的函数g(x)，使g′(x)=f(x).当时所知道的函数无非是现在所说的初等函数，即代数函数（多项式及有理分式）、指数函数及三角函数以及它们的反演.在实现莱布尼茨纲领上，椭圆积分是数学家所碰到的第一个障碍，经过当时数学家的努力，还是不能把椭圆积分表成上述的理想形式，以致1694年雅各布?伯努利就猜想这项任务不可能完成.这个猜想直到1833年才由法国数学家刘维尔证明.他证明，包括椭圆积分在内的一大类积分均不可能表为初等函数.在这期间，数学家开始考虑用分析方法即各种无穷表达式来表示它，而具体到椭圆积分，则更着重于研究其性质.
由于一般的椭圆积分较为复杂，最早研究的一类是所谓双纽线积分。1694年雅各布·伯努利由于双纽线积分简单、漂亮而单独提出来予以考虑。这是最简单的椭圆积分，因此成为研究椭圆积分的出发点。
椭圆积分的历史起点一般公认为1718年，由意大利数学家法纳诺开始研究，他发现了双纽线积分的倍弧长公式.1751年12月23日欧拉在得知法纳诺的结果之后，导致他于1761年把倍弧长公式推广成双纽线积分的加法定理，即得出法纳诺关系。后来，雅可比把1751年12月23日这一天称为“椭圆函数的生日”。
双纽线积分虽然是研究一般椭圆积分的起点，但欧拉的加法定理并不能轻易地推广到一般椭圆积分之上.一般椭圆积分的研究主要来自勒让德.
勒让德关于椭圆函数方面的工作从1783年起持续了半个世纪.首先他在1786年发表两篇论文，1793年发表长篇论文，然后写了《积分练习》（Exercises de calcul integral,3卷,1811,1817,1826）以及《椭圆函数论》（3卷，1825，1826，1828）.其中，他对椭圆积分进行了系统研究.
同年，阿贝尔首先对实值u,v的椭圆函数证明加法定理.通过加法定理，他把椭圆函数的定义推广到复值z=u+iv.
同时，阿贝尔还发现椭圆函数的重要性质——双周期性，即存在两个周期，其比为非实数.这成为后来椭圆函数研究的出发点.1835年雅可比证明任何单变量单值有理型（即亚纯）函数不可能多于两个周期，且周期比必为非实数.1844年刘维尔以此为出发点，建立系统的双周期函数理论.他还依据柯西的留数理论证明，在一个周期平行四边形内极点的数目有限，这些极点的阶数之和被称为椭圆函数的阶数；在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；椭圆函数在任何一个周期平行四边形内极点的留数之和恒为0；在一个平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个第一类椭圆积分.
勒让德在他的书中得出一系列加法公式及变换公式，以及不同参数n的第三类积分之间的关系.在《椭圆函数论》第2卷中，勒让德发表了第一个椭圆积分表，它也是今天同类表的基础.
高斯对椭圆积分也有贡献，他从1791年起就研究所谓算术几何均值，也就是两个正数a及b经过如下运算所形成的两个序列{a_n}和{b_n}的共同极限
a_0=a,  b_0=b
 ,  
他记为agM(a,b).1799年5月30日他在日记中写道：
“我们已经确定1和sqrt(2)的算术几何平均与π/ω相重到11位；这个事实的证明肯定将开辟一个全新的分析领域.”
勒让德搞了一辈子椭圆积分，却从来没有想到把椭圆积分反演得出椭圆函数，以致他在晚年不无辛酸地赞美阿贝尔及雅可比的工作.当时有三位数学家考虑到反演问题，他们是高斯、阿贝尔及雅可比.
高斯得出双纽线函数，但其结果直到他去世后才发表.阿贝尔在1823年已经有了反演的想法，1827年发表第一篇论文.同年，雅可比开始研究椭圆函数，并写了一篇没有证明过程的论文.其后，两人都发表了这方面的论文，特别是雅可比在1829年出版的《椭圆函数论新基础》（Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum）成为椭圆函数论的奠基性著作.在此之前，勒让德在《椭圆函数论》的补篇（1828）中介绍了阿贝尔及雅可比的工作.
阿贝尔和雅可比在椭圆函数方面的贡献很多，主要有以下几个方面：
（1）引进雅可比椭圆函数.
（2）由实值扩展到复值，并发现双周期性.
（3）给出椭圆函数的表示，并建立θ函数理论.
雅可比在《椭圆函数论新基础》一书中建立了θ函数理论，从而给椭圆函数一个系统的表示.特殊的θ型函数最早是雅各布?伯努利在《猜度术》（1713）中引进的，他研究过∑[n=0->∞]m^(n^2)，∑[n=0->∞]m^(n(n+1)/2)，∑[n=0->∞]m^(n(n+3)/2)，它们都是θ函数.欧拉在《无穷分析引论》（1748）中为研究分拆函数∏(1-q^n)而引进第二变元ζ，得到∏[∞](1-q^nζ)^(-1)，它也是θ函数.其后，它出现在傅里叶的《热的分析理论》（1822）中.但只有雅可比把θ函数同椭圆函数联系起来，并在数论上加以应用.θ函数是单周期的整函数，可以用收敛很快的级数来表示，因此在椭圆函数计算中是最好的工具.
雅可比早在1828年先由椭圆函数论得出四种θ函数的变换公式，但泊松已经于1823年得到其中一种，且其他三种不难由初等代数得到.雅可比最重要的贡献在于把椭圆函数用θ函数表示，然后由椭圆函数得出θ函数的无穷乘积表示.椭圆函数及θ函数有了明显表达式之后，很容易推出它们的性质、变换公式、微分方程等，而且为其广泛应用开辟了道路.从历史上讲，雅可比最早用的是Θ函数及H函数，后来改为四种θ函数，其后不同数学家用的记号也有些差别，理论上主要是魏尔斯特拉斯的记号，而雅可比的记号在应用上由于方便、实用，直到现在仍被广泛使用.
θ函数有许多推广，埃尔米特于1858年定义θ级数θu,v，而向高维推广则为阿贝尔函数论提供了工具.
到1838年，雅可比椭圆函数论已经建立，并在各方面有着广泛应用.然而从理论上讲，椭圆函数的完整理论是魏尔斯特拉斯建立的，他从1857年冬季学期起，开始在柏林大讲授椭圆函数论课程，他的讲义内容由于学生的传播而逐渐公之于世.魏尔斯特拉斯最早发表椭圆函数论文于1882~1883年分四篇发表在《柏林科学院会报》上，他的讲演经施瓦茨整理于1893年出版，书名为《椭圆函数应用的公式及定理》（Formeln und Lehrsatze zum Gebrauche der elliptischen Funkionen）.他以前的研究由于他的《魏尔斯特拉斯全集》第一卷（1894）及第二卷（1895）的出版而公之于世，特别是1875年他在柏林大学的就职演讲已经包括了体系的概要.魏尔斯特拉斯的椭圆函数理论现在已成为标准的表述.从历史上看，在他之前，许多数学家也有一些类似的不同于雅可比椭圆函数的考虑.
法国数学家刘维尔在1844年最早把双周期性作为刻画椭圆函数的出发点，他受到柯西的复分析理论，特别是留数演算的影响，从复分析的大视野来观察椭圆函数.他把在有限复平面上亚纯的双周期函数定义为椭圆函数，则复平面可划分为周期平行四边形.他证明，在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数，这是一般刘维尔定理的特殊情形.他还证明，在两极点情形，椭圆函数在任一周期平行四边形的极点处留数之和为0，一般情形是埃尔米特在1848年证明的.他证明，任一椭圆函数在一周期平行四边形内取任何值的次数均相同；零点之和与极点之和的差等于一个周期.刘维尔在法兰西学院讲的椭圆函数课程为他的学生布瑞奥及布盖所吸收，他们合写的书《双周期函数理论》(Theorie des fonctions doublement periodiques)于1859年出版，是椭圆函数论的第一部专著，1875年出第二版时，篇幅由原来的342页翻了一番，多达700页，这反映出理论进步之快.不过，刘维尔对这两个学生极为不满，认为他们剽窃自己的理论，对此魏尔斯特拉斯也有同感.
英国数学家凯莱从1845年起就发表椭圆函数的论文，一直持续了半个世纪.他的风格保守，十分倾向于具体计算.只是在1845年的论文中给出椭圆函数的一个双重无穷乘积表示，而不是像以前从椭圆积分反演得来，他具体从双重无穷乘积来表示雅可比椭圆函数.凯莱的研究收入在他唯一出版的著作《椭圆函数》（1876）中.
19世纪中叶，对椭圆函数的研究主要集中在德国，除了雅可比和他的学生之外，爱森斯坦因是椭圆函数的主要研究者，他更多是从数论出发，但是他的论文没有引起很多注意，直到19世纪80年代才为克罗内克所发展.爱森斯坦因批评阿贝尔和雅可比通过椭圆积分的反演以及通过加法定理复化既不自然也不严格.他在1847年发表关于椭圆函数的论文，使用双重无穷乘积定义椭圆函数.他的研究为克罗内克所继续，特别是他在晚年的一系列著作，其工具是二重级数.他们的工作都与数论相关.
尽管凯莱及爱森斯坦因等人早已有不从椭圆积分的反演来定义椭圆函数的想法，但是椭圆函数的系统理论公认为魏尔斯特拉斯所建立.也正是由这时开始，椭圆函数论正式作为解析函数论的一个特殊情况来处理.从19世纪末起，在许多解析函数论的著作中，后面一大半是论述椭圆函数及其推广的.随着时间的流逝，椭圆函数这部分越来越薄，最后趋向于0.这导致现代大学生对这类不仅在历史上而且到现在仍极为重要的函数一无所知.
在椭圆函数与模函数领域出现的大家很多，但阿贝尔是一个绕不过去的人物.
梁启超曾说：“古今中外论济世救人者，耶稣之外，墨子而已.”
从此等口气谈论椭圆函数这一分支的建立，我们可以说,古今中外论椭圆函数与椭圆积分者，高斯之外，阿贝尔而已.
这个挪威青年有两大不幸，一是身染肺病，二是结果不被承认.如果晚生150年肺结核便有药可医，但成果被忽视既使到今天也难免，例如德布兰吉斯证明的比勃巴赫猜想.
阿贝尔积分和阿贝尔函数是椭圆积分、超椭圆积分以及椭圆函数、超椭圆函数的推广，1826年10月30日，他把题为《论很广一类超越函数的一般性质》（Memoire sur une properiete generale d'une classe trs etendue de fonctions transcendants）的论文呈递给巴黎科学院，但是负责评审论文的柯西连看也没看，就把它丢在一边.此文直到1841年才发表，而其中证明的阿贝尔定理的特殊情形于1826年发表.
椭圆积分及其反演到1832年已有一个相当满意的解答，而一般的阿贝尔积分及其反演问题却遇到极大困难.
雅可比没能解决这个问题，他只是在1832年证明反函数也具有一个代数加法定理，并在1834年研究v=3的特殊情形，即可以简化为椭圆积分的阿贝尔积分的反演.这时他已意识到需要多变元的多重周期函数来代替θ函数，一般超椭圆积分的分类问题在1838年由雅可比的学生黎西罗(Friedrich Julius Richelot,1808-1875)解决.他著有《椭圆函数》、《阿贝尔曲体》等专著.不过他广为人知的工作是用尺规作出了正257边形，稿纸长达80页之多.
雅可比反演问题的最简单情形（v=3）由哥贝尔(Adolph Gopel,1812-1847)在1847年对特殊情形解决，一般情形由罗森哈恩(Johann Georg Rosenhain,1816—1887)在1850年完全解决.他们都是雅可比的学生，解决途径都是沿着雅可比所指出的对两变元情形适当推广θ函数.
对于一般情形，魏尔斯特拉斯试图解决第一类超椭圆积分的反演问题.在19世纪40年代中期，他还是中学教师时，他已经花费很大力气研究这个问题.第一篇论文发表在1848—1849年布劳恩斯伯格中学的年度报告上，当然，它没有引起注意.在1849年7月17日的手稿中，他已得出这个问题的主要结果，即引进类似于θ函数的辅助函数，并把反函数表为这种收敛幂级数之商，其详细内容于1853年寄给《克莱尔杂志》，并于1854年发表.这篇论文使他名声大振，他获得1855-1856年度的休假并进行专门研究，发表了1856年的论文，这两篇论文直接将他迎进了柏林大学的大门.1856年的论文详细叙述了对超椭圆积分的雅可比反演问题的解决过程.这次他把它表述为微分方程的解，他声称他的方法对一般的阿贝尔积分也适用，并于1857年夏天向柏林科学院提交了详细的报告，但在印刷过程中他撤回了这篇论文.几周后，黎曼发表了由四部分组成的长篇大论文《阿贝尔函数论》，两人用的方法不同，但结果完全一样，他后来重新写了这篇论文，并从1869年开始用于他的讲课之中.
从阿贝尔到黎曼，阿贝尔函数论这个领域进展不大，但从历史上看，伽罗华在1832年写的最后的书信中却包括许多代数函数论的内容，他叙述了许多定理，不过没有任何证明.其中包括后来黎曼完成的把阿贝尔积分分成三类的结果，他还知道第一类积分的周期数目与第一类和第二类线性独立积分数目之间的关系.他还给出第三类积分的参量与独立变量之间的互换公式.不过在他以前的论文中看不到有关这些结果的痕迹，这种天才的闪光经过20年却没人能理解，只有在另一位天才——黎曼那里才引起另一次突破，但似乎没有什么证据说明黎曼知道伽罗华的这封信.
关于阿贝尔函数，黎曼发表了两篇文章：一是《阿贝尔函数论》(Theorie der Abel'schen Functionen)，一是《论θ函数的零点》（uber das Verschwinden der Theta-Functionen）,这是前一篇的续篇.前一篇由四部分构成，是他生前发表的最深刻且有丰富内容的著作.
（1）阿贝尔积分的表示及分类，即对由
f(z,ω)=0
定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行分类.第一类阿贝尔积分，在黎曼曲面上处处有界，线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p，如果曲面的连通数
N=2p+1
这p个阿贝尔积分被称为基本积分.
第二类阿贝尔积分，在黎曼曲面上以有限多点为极点.
第三类阿贝尔积分，在黎曼曲面上具有对数型奇点.
每一个阿贝尔积分均为上三类积分的和.
黎曼还引进相伴曲面观念.黎曼面上的有理函数也可借助相伴曲面来表示.
（2）黎曼-洛赫定理.
这是代数函数论及代数几何学最重要的定理.黎曼得到的是黎曼不等式，是黎曼-洛赫定理的原始形态，黎曼研究的出发点之一是黎曼面上指定单极点的亚纯函数的数目.他证明，以μ个给定的一般点为极点的单值函数形式μ-p+1维线性簇，但对于一组特殊的m个点，维数l还要增加，因此黎曼得出黎曼不等式
l≥μ-p+1
黎曼的学生洛赫（Gustav Roch,1839-1866）补充了一项，使之成为等式，此即代数函数论及代数几何学中心定理.
1882年出现两篇关于代数函数论的大论文，一篇是戴德金和H?韦伯合写的，一篇是克朗耐克写的.他们由代数-算术方法推广黎曼的理论，特别是黎曼-洛赫定理.前者用理想的语言，后者用除子的语言来整理代数函数论，揭示它们与代数数论的相似之处，从而最终指向交换代数学.
（3）黎曼矩阵、黎曼点集与阿贝尔函数.
黎曼认识到，周期关系是非退化阿贝尔函数存在的充分且必要条件，但他既没有表述完全，也没有提供一个证明.对此，魏尔斯特拉斯尽管花费了很大力气，仍未能得出一个完全证明.庞加莱完成了证明（1902）.他证明，任何2n重周期的解析函数可以表示为两个整函数的商，这两个整函数满足θ函数所适合的函数方程.
1884年弗罗比尼乌斯证明，存在非平凡θ函数的充分且必要条件就是黎曼的双线性关系.黎曼双线性关系也被称为黎曼-弗罗比尼乌斯关系，因此可知这些关系是存在具有给定周期的亚纯函数，经过线性变换之后变元数目不减少的充分必要条件，当然它也保证由周期关系定义的θ函数绝对且一致收敛，它还定义了一个与黎曼曲面对应的雅可比簇J(x).
（4）θ函数及雅可比反演问题.
为了研究雅可比簇，黎曼推广雅可比θ函数，引进黎曼θ函数.
黎曼证明了下列定理：
①阿贝尔定理;
②阿贝尔函数的雅可比反演定理;
③黎曼奇性定理.
（5）双有理变换的概念和参模.
黎曼对于由两个代数函数
F(s,z)=0
F1(s1,z1)=0
定义的黎曼面，引进了一个等价关系，即双有理等价，也就是通过(s,z)与(s1,z1)之间的有理函数一一对应，使F变到F1或F1变到F.以后的代数几何学，研究双有理不变量及双有理等价类成为中心课题.对于平面代数曲线，黎曼提出描述亏格为p的双有理等价类集合的问题.黎曼通过θ函数推出，当p>1时，这集合依赖于(3p-3)个任意复常数，他称这些常数为“类模”(klassenmoduln)，后来简称为模或参模(moduli).当参模是“一般的”（即不满足特殊条件）时，黎曼给出该参模等价类中定义的方程
F(s,z)=0
的最小阶数.关于参模结构的研究是现代数学的热门话题，从20世纪30年代以来已经取得了很大的进展.
黎曼在晚年的一个成就是证明p=3情形的托雷里（Ruggiere Torelli,1884-1915）定理，即J(x),Θ决定X.为此，他把θ函数稍加推广，成为具有特征的θ函数.利用这种广义θ函数及其导数在零点的值（即所谓θ常数），就可以定出亏格为p的黎曼面所依赖的参数.
一般曲线的托雷里定理是托雷里在1914年证明的，不过有一些漏洞，直到1957年才由魏伊补全.
代数函数论的另一大问题是肖特基问题，由于雅可比簇是主极化阿贝尔簇，但反过来不一定对.问题是：哪些主极化阿贝尔簇是代数曲线的雅可比簇？1880年,肖特基对于p=3的情形进行研究.1888年对于p=4的情形，他证明，某些θ常数的16次多项式在雅可比簇上为0，但一般不为0.1909年,他和荣格(Heinrich Wilhelm Ewald Jung,1876—1953)引入肖特基簇，猜想它可以刻画雅可比簇，这就是所谓肖特基猜想，至今尚未解决.原来的肖特基问题由于1986年盐田隆比吕证明诺维科夫(Serge Novikov,1938-)猜想而向前迈进了一大步.
从以上胡作玄先生的介绍可以看出,椭圆函数始于蛮横角力计算积分，终于以优雅方式建立起宏大的理论.
今年60岁的围棋老将聂卫平参加了今年的三星杯分组赛，虽然第一轮就“惨遭”淘汰，但他还是从心底里“看不上”那些只知蛮横角力而忽略了围棋美学和艺术性的“实战派棋手”.他说：“没有大局观的围棋我不喜欢，那还能算围棋吗？”
如果说椭圆曲线和椭圆函数还停留在为计算椭圆周长作准备的初级阶段，那么它就早被历史所淘汰，正是因为它成为了21世纪最主流的代数几何学的发轫，才有了今天人们愿意将其钩沉出来的愿望.
曾有记者问季羡林先生，学那些早已作古的文字，如梵文、吐火罗文，有什么用？季先生淡然说：“世间的学问，学好了，都有用；学不好，都没用.”
确实，人们现在大多愿意学习那些最时髦的理论，对椭圆函数这种19世纪的“过时”理论不屑一顾，但对于那些对数学真正感兴趣的人，这么漂亮的理论不学真是罪过，所以笔者所在的工作室从大量旧文献中将其打捞出来，奉献给那些真想学的读者.香港中文大学教授李连江总结说，“想学”和“真想学”是有差别的，有四层意思：
（1）真想学，就不在乎别人学不学，也不在乎别人学得怎么样；
（2）真想学，就会努力学好，不会满足于差不多；
（3）真想学，就会对自己有耐心；
（4）真想学，才能埋头耕耘，不问收获.
由于这一分支历史久远，所以有些文献文白参半，如硬改为今天的语气也有不便，正如学者蒋寅有一篇文章叫《扫他妈的墓》中写道：
19世纪30年代正值举国风行白话文之际，官方刊发何应钦扫墓消息，指定标题为《何省长昨日去岳麓山扫其母之墓》.报人改为白话文，翌日以《何省长昨日去岳麓山扫他妈的墓》为题见报，有些东西还是原汁原味较好，反之易弄巧成拙，被人笑话.
在编的过程中我们遗憾的发现，世界各先进国家的数学家对此均有所贡献，唯独缺少我们.前英国首相撒切尔夫人曾断言：“中国成不了超级大国，只输出电视机不输出思想.”这是我们坚决不能同意的.
临渊羡鱼不如退而结网！
刘培杰
2012年9月25日于哈工大