欧几里得算法

欧几里德算法：

证明：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)（a>b)

(模算术(a+b)%c=(a%c+b%c)%c)

因为a%b=a-k*b,显然式子中a和b的最大公约是gcd(a,b)

 

扩展欧几里德算法：

求解ax+by=k*gcd(a,b)的整数解

设：

ax1+ by1= gcd(a,b)

bx2+ (a%b)y2= gcd(b,a%b)

因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

所以ax1+ by1=bx2+ (a%b)y2

ax1+ by1=bx2+ (a-a/b*a)y2

ax1+ by1=bx2+ a*y2-(a/b*b)*y2

得x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2

欧几里德算法一定会使b为0

参考白书程序 ：

void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y){  if(b==0){d=a;x=1;y=0;}  else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}}（技巧，使用传引用，交换y和x，那么当从上一层返回是x1=y2,y=x2,所以返回后只需要y-=x*(a/b)，省略了交换值的步骤）

其他整数解满足

x=x0+k*b/gcd(a,b)

y=y0-k*a/gcd(a,b)

推导：

设(x1，y1)与(x2，y2)是方程的两组解，则ax1+by1=ax2+by2

得a(x1-x2)=b(y1-y2)，两边同时除gcd(a,b)则变为a’(x1-x2)=b’(y2-y1)

显然a’与b’互质，所以(x1-x2)=k*b’,(y1-y2)=k*a’，所以得出以上结论