Dijkstra算法

Dijkstra算法
定义G=(V,E)，定义集合S存放已经找到最短路径的顶点，集合T存放当前还未找到最短路径的顶点，即有T=V-S
Dijkstra算法描述如下：
(1) 假设用带权的邻接矩阵edges来表示带权有向图，edges[i][j]表示弧

#include<fstream>　　#define MaxNum 765432100　　using namespace std;　　ifstream fin("Dijkstra.in");　　ofstream fout("Dijkstra.out");　　int Map[501][501];　　bool is_arrived[501];　　int Dist[501],From[501],Stack[501];　　int p,q,k,Path,Source,Vertex,Temp,SetCard;　　int FindMin()　　{　　int p,Temp=0,Minm=MaxNum;　　for(p=1;p<=Vertex;p++)　　if ((Dist[p]<Minm)&&(!is_arrived[p]))　　{　　Minm=Dist[p];　　Temp=p;　　}　　return Temp;　　}　　int main()　　{　　memset(is_arrived,0,sizeof(is_arrived));　　fin >> Source >> Vertex;　　for(p=1;p<=Vertex;p++)　　for(q=1;q<=Vertex;q++)　　{　　fin >> Map[p][q];　　if (Map[p][q]==0) Map[p][q]=MaxNum;　　}　　for(p=1;p<=Vertex;p++)　　{　　Dist[p]=Map[Source][p];　　if (Dist[p]!=MaxNum) 　　From[p]=Source;　　else 　　From[p]=p;　　}　　is_arrived[Source]=true;　　SetCard=1;　　do　　{　　Temp=FindMin();　　if (Temp!=0)　　{　　SetCard=SetCard+1;　　is_arrived[Temp]=true;　　for(p=1;p<=Vertex;p++)　　if ((Dist[p]>Dist[Temp]+Map[Temp][p])&&(!is_arrived[p]))　　{　　Dist[p]=Dist[Temp]+Map[Temp][p];　　From[p]=Temp;　　}　　}　　else　　break;　　}　　while (SetCard!=Vertex);　　for(p=1;p<=Vertex;p++)　　if(p!=Source)　　{　　fout << "========================\n";　　fout << "Source:" << Source << "\nTarget:" << p << '\n';　　if (Dist[p]==MaxNum)　　{　　fout << "Distance:" << "Infinity\n";　　fout << "Path:No Way!";　　}　　else　　{ 　　fout << "Distance:" << Dist[p] << '\n';　　k=1;　　Path=p;　　while (From[Path]!=Path)　　{　　Stack[k]=Path;　　Path=From[Path];　　k=k+1;　　}　　fout << "Path:" << Source;　　for(q=k-1;q>=1;q--)　　fout << "-->" << Stack[q];　　}　　fout << "\n========================\n\n";　　}　　fin.close();　　fout.close();　　return 0;　　}　　Sample Input　　2　　7　　00 20 50 30 00 00 00　　20 00 25 00 00 70 00　　50 25 00 40 25 50 00　　30 00 40 00 55 00 00　　00 00 25 55 00 10 00　　00 70 50 00 10 00 00　　00 00 00 00 00 00 00　　Sample Output　　========================　　Source:2　　Target:1　　Distance:20　　Path:2-->1　　========================　　========================　　Source:2　　Target:3　　Distance:25　　Path:2-->3　　========================　　========================　　Source:2　　Target:4　　Distance:50　　Path:2-->1-->4　　========================　　========================　　Source:2　　Target:5　　Distance:50　　Path:2-->3-->5　　========================　　========================　　Source:2　　Target:6　　Distance:60　　Path:2-->3-->5-->6　　========================　　========================　　Source:2　　Target:7　　Distance:Infinity　　Path:No Way!　　========================　　示例程序及相关子程序：　　void Dijkstra(int n,int[] Distance,int[] iPath)　　{　　int MinDis,u;　　int i,j;　　//从邻接矩阵复制第n个顶点可以走出的路线，就是复制第n行到Distance[]　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　Distance=Arc[n,i];　　Visited=0;　　}//第n个顶点被访问，因为第n个顶点是开始点　　Visited[n]=1;　　//找到该顶点能到其他顶点的路线、并且不是开始的顶点n、以前也没走过。　　//相当于寻找u点，这个点不是开始点n　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　u=0;　　MinDis=No;　　for(j=0;j<VerNum;j++)　　if(Visited[j] == 0&&(Distance[j]<MinDis))　　{　　MinDis=Distance[j];　　u=j;　　}　　//如范例P1871图G6，Distance=[No,No,10,No,30,100]，第一次找就是V2，所以u=2　　//找完了，MinDis等于不连接，则返回。这种情况类似V5。　　if(MinDis==No) return ;　　//确立第u个顶点将被使用，相当于Arc[v,u]+Arc[u,w]中的第u顶点。　　Visited[u]=1;　　//寻找第u个顶点到其他所有顶点的最小路，实际就是找Arc[u,j]、j取值在[0，VerNum]。　　//如果有Arc[i,u]+Arc[u,j]<Arc[i,j]，则Arc[i,j]=Arc[i,u]+Arc[u,j]<Arc[i,j]　　//实际中，因为Distance[]是要的结果，对于起始点确定的情况下，就是：　　//如果(Distance[u] + Arc[u,j]) <= Distance[j] 则：　　//Distance[j] = Distance[u] + Arc[u, j]；　　//而iPath[]保存了u点的编号；　　//同理：对新找出的路线，要设置Visited[j]=0，以后再找其他路，这个路可能别利用到。例如V3　　for(j=0;j<VerNum;j++)　　if(Visited[j]==0&&Arc[u,j]<No&&u!= j) 　　{　　if ((Distance[u] + Arc[u,j]) <= Distance[j])　　{　　Distance[j] = Distance[u] + Arc[u, j];　　Visited[j]=0;　　iPath[j] = u;　　}　　}　　}　　}　　//辅助函数　　void Prim()　　{　　int i,m,n=0;　　for(i=0;i<VerNum;i++) 　　{　　Visited=0;　　T=new TreeNode();　　T.Text =V;　　}　　Visited[n]++;　　listBox1.Items.Add (V[n]); 　　while(Visit()>0)　　{　　if((m=MinAdjNode(n))!=-1)　　{　　T[n].Nodes.Add(T[m]); 　　n=m;　　Visited[n]++;　　}　　else　　{　　n=MinNode(0);　　if(n>0) T[Min2].Nodes.Add(T[Min1]); 　　Visited[n]++;　　}　　listBox1.Items.Add (V[n]); 　　}　　treeView1.Nodes.Add(T[0]); 　　}　　void TopoSort()　　{　　int i,n;　　listBox1.Items.Clear(); 　　Stack S=new Stack();　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　Visited=0;　　for(i=VerNum-1;i>=0;i--)　　if(InDegree(i)==0)　　{　　S.Push(i);　　Visited++;　　}　　while(S.Count!=0)　　{　　n=(int )S.Pop();　　listBox1.Items.Add (V[n]); 　　ClearLink(n);　　for(i=VerNum-1;i>=0;i--)　　if(Visited==0&&InDegree(i)==0)　　{　　S.Push(i);　　Visited++;　　}　　}　　}　　void AOETrave(int n,TreeNode TR,int w)　　{　　int i,w0;　　if(OutDegree(n)==0) return;　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　if((w0=Arc[n,i])!=0)　　{　　listBox1.Items.Add (V+"\t"+(w+w0).ToString()+"\t"+i.ToString()+"\t"+n.ToString());　　TreeNode T1=new TreeNode();　　T1.Text =V+" [W="+(w+w0).ToString()+"]"; 　　TR.Nodes.Add(T1); 　　AOETrave(i,T1,w+w0);　　}　　}　　void AOE()　　{　　int i,w=0,m=1;　　TreeNode T1=new TreeNode();　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　Visited=0;　　}　　T1.Text =V[0];　　listBox1.Items.Add ("双亲表示法显示这个生成树："); 　　listBox1.Items.Add ("V\tW\tID\tPID");　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　if((w=Arc[0,i])!=0)　　{　　listBox1.Items.Add (V+"\t"+w.ToString()+"\t"+i.ToString()+"\t0");　　TreeNode T2=new TreeNode();　　T2.Text=V+" [W="+w.ToString()+"]";　　AOETrave(i,T2,w);　　T1.Nodes.Add (T2); 　　listBox1.Items.Add("\t\t树"+m.ToString());　　m++;　　}　　}　　treeView1.Nodes.Clear(); 　　treeView1.Nodes.Add (T1);　　}　　int IsZero()　　{　　int i;　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　if(LineIsZero(i)>=0) return i;　　return -1;　　}　　int LineIsZero(int n)　　{　　int i;　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　if (Arc[n,i]!=0) return i;　　return -1;　　}　　void DepthTraverse()　　{　　int i,m;　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　Visited=0;　　T=new TreeNode();　　T.Text =V;　　R=0;　　}　　while((m=IsZero())>=0)　　{　　if(Visited[m]==0) 　　{　　listBox1.Items.Add (V[m]);　　R[m]=1;　　}　　Visited[m]++;　　DTrave(m);　　}　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　if(R==1)　　treeView1.Nodes.Add (T); 　　}　　}　　void DTrave(int n)　　{　　int i;　　if (LineIsZero(n)<0) return;　　for(i=VerNum-1;i>=0;i--)　　if(Arc[n,i]!=0)　　{　　Arc[n,i]=0;　　Arc[i,n]=0;　　if(Visited==0)　　{　　listBox1.Items.Add (V);　　T[n].Nodes.Add (T); 　　R=0;　　}　　Visited++;　　DTrave(i);　　}　　}　　void BreadthTraverse()　　{　　int i,m;　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　Visited=0;　　T=new TreeNode();　　T.Text =V;　　R=0;　　}　　while((m=IsZero())>=0)　　{　　if(Visited[m]==0) 　　{　　listBox1.Items.Add (V[m]);　　R[m]=1;　　}　　Visited[m]++;　　BTrave(m);　　}　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　if(R==1)　　treeView1.Nodes.Add (T); 　　}　　}　　void BTrave(int n)　　{　　int i;　　Queue Q=new Queue();　　Q.Enqueue(n);　　while(Q.Count!=0)　　{　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　{　　if(Arc[n,i]!=0)　　{　　Arc[n,i]=0;　　Arc[i,n]=0;　　if(Visited==0)　　{　　listBox1.Items.Add(V); 　　T[n].Nodes.Add (T); 　　R=0;　　}　　Visited++;　　Q.Enqueue(i);　　}　　}　　n=(int )Q.Dequeue(); 　　}　　}　　int MinNode(int vn)　　{　　int i,j,n,m,Min=No;　　n=-1;m=-1;　　for (i=vn;i<VerNum;i++)　　for(j=0;j<VerNum;j++)　　if(Arc[i,j]!=No&&Arc[i,j]<Min&&Visited==0&&Visited[j]==1)　　{　　Min=Arc[i,j];n=i;m=j;　　}　　Min1=n;Min2=m;　　return n;　　}　　int MinAdjNode(int n)　　{　　int i,Min,m;　　Min=No;m=-1;　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　if(Arc[n,i]!=No&&Visited==0&&Min>Arc[n,i]&&Visited[n]==1)　　{　　Min=Arc[n,i];m=i;　　}　　return m;　　}　　int Visit()　　{　　int i,s=0;　　for(i=0;i<VerNum;i++)　　if(Visited==0) s++;　　return s;　　}

近来在研究dijkstra算法，终于弄懂了不少，今天下午要讲课啦，上网找了好多资料，都发现讲得不怎么详细，在这里还是为了以后和我一样想上网寻找dijkstra算法的资料小朋友服务一下，把我找到的东西在这里贴一贴吧！（不想看的或不感兴趣的飘过就好了^_^简介：Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格•迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。

算法介绍
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格•迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。 我们以V表示G中所有顶点的集合。 每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。 我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。 因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。 边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。 已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
算法一般流程图：
例：输入起点，终点，求其最短路径？

下面是Dijkstra 算法：
基本思想是：设置一个顶点的集合s，并不断地扩充这个集合，一个顶点属于集合s当且仅当从源点到该点的路径已求出。开始时s中仅有源点，并且调整非s中点的最短路径长度，找当前最短路径点，将其加入到集合s，直到终点在s中。
具体程序实现：

program zudlouj;const n=6;max=10000 ;     cost:array[1..6,1..6] of real=((0,50,10,max,45,max),(max,0     ,15,max,10,max),(20,max,0,15,max,max),(max,20,max,0,35,max),(     max,max,max,30,0,max),(max,max,max,3,max,0));{连通关系,连通路径长度，不连通则赋值为max}var dist:array[1..n] of real;  {起点到当前点的最短路径}    path,p:array[1..n] of 1..n;{path[i]:记录以i为终点的到i点能取得最短路径的起点}    first,tail,u:1..n;{起点与终点}    s:set of 1..n;{存储已走过的点}    i,j,y,m:integer;    min:real;begin read(first,tail); for i:=1 to n do dist[i]:=max;{一开始所有的点都赋值为∞表示没有走过} dist[first]:=0;{起点赋值为0} s:=[first];{起点已走过，存入s中} u:=first;{u表示当前子路径的起点位置} while u<>tail do{当子路径的起点不是终点，即还没走到终点时}   begin   for  j:= 1 to n do    if not(j in s) and (dist[u]+cost[u,j]<dist[j]) then{j表示子路径的终点，如果当前终点没有走过（不在s中）则看当前起点u到该点j的路径长度是否为到当前走到j的子路径中最短的，是则将到j的子路径的起点定位u（即path[j]:=u），并且到j的最短路径dist[j]:=dist[u]+cost[u,j]}     begin dist[j]:=dist[u]+cost[u,j];path[j]:=u end;   min:=max;   for j:=1 to n do    if not(j in s) and (dist[j]<min) then begin u:=j;min:=dist[j];end;{找出当前子路径起点u所能到达的最短的j，并将j作为下一条子路径的起点u}   if min=max{如果min＝max即当前点到四周所有的点都没有通路（死路一条了）} then begin writeln('No answer');halt end;   s:=s+[u];{将当前的子路径起点u放入s}  end;  {输出}  writeln('mindist(',first,',',tail,')=',dist[tail]:8:2);  y:=tail;m:=0;  while (y<>first)   do   begin inc(m);p[m]:=y;y:=path[y]; end;{p[m]：m为终点，p[m]为起点（从后到前寻找回路径）}  write('path:',first);  for j:=m downto 1 do   write('->',p[j]);  writeln;end.