leetcode之Best Time to Buy and Sell Stock

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.
Design an algorithm to find the maximum profit.
Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).
题目描述：你有一个数组，第i个元素代表第i天股票的价格，设计一个算法获得最大的利润（买股票之前必须先卖掉手中的股票）
问题1：Best Time to Buy and Sell Stock I，你至多买一次股票
思路：一维动态规划，记maxprofile[i]表示到i天为止最大的收益，minprices表示第i天为止最小的买入价格，那么递推关系式如下：
maxprofile[i] = max(maxprofile[i-1], prices[i] - minprices)
也就是第i天的最大收益为：max(第i-1天的最大收益，以最小价格买入，第i天的价格卖出的收益)
O(n)时间复杂度，O(1)空间复杂度
代码如下：

class Solution {public:    int maxProfit(vector<int>& prices) {        int len = prices.size();        if(len < 2)            return 0;        int minPrices = prices[0];//到当前位置i为止的最小价格        int maxProfile = 0;        for(int i = 1; i < len; ++i){            minPrices = min(prices[i], minPrices);            maxProfile = max(maxProfile, prices[i] - minPrices);        }        return maxProfile;    }};

问题2：Best Time to Buy and Sell Stock II，不限制你的买入次数，求最大收益
思路：贪心算法，从前向后遍历数组，只要当天的价格高于前一天的价格，就算入收益。
O(n)时间复杂度，O(1)空间复杂度，代码如下：

class Solution {public:    int maxProfit(vector<int>& prices) {        int len = prices.size();        if(len < 2)            return 0;        int maxProfile = 0;        for(int i = 1; i < len; ++i){            int diff = prices[i] - prices[i-1];            if(diff > 0)                maxProfile += diff;        }        return maxProfile;    }};

问题3：Best Time to Buy and Sell Stock III 最多购买2次股票，求最大收益
思路：动态规划，将数组以第i天划分为两半，l[i]， r[i]。其中l[i]表示第i天之前的最大收益，r[i]表示第i天之后的最大收益，那么max(l[i]+r[i])（0<=i<=len-1），即为最大收益，而l[i]与r[i]的求法同Best Time to Buy and Sell Stock I，O(n)时间复杂度，O(n)空间复杂度。
代码如下：

class Solution {public:    int maxProfit(vector<int>& prices) {        int len = prices.size();        if(len < 2)            return 0;        int *l = new int[len];        int *r = new int[len];        l[0] = 0;        int m = prices[0];//最低买入价格        for(int i = 1; i < len; ++i){            l[i] = max(l[i-1], prices[i]-m);            m = min(prices[i], m);        }        r[len-1] = 0;        m = prices[len-1];//最高卖出价格        for(int i = len - 2; i >= 0; --i){            r[i] = max(r[i+1], m - prices[i]);            m = max(prices[i], m);        }        m = 0;        for(int i = 0; i < len; ++i)            m = max(m, r[i]+l[i]);        return m;    }};

问题4：Best Time to Buy and Sell Stock IV，最多进行k此交易，求最大收益
思路：采用动态规划法求解，定义变量g[i][j]表示到第i天为止最多进行j次交易的最大收益，即全局最优，l[i][j]表示到第i天为止进行最多j次交易并且最后一次交易在当天(第i天)进行的最大收益，即局部最优，那么有如下递推关系式：
g[i][j] = max(g[i-1][j], l[i][j])，第i天进行至多j次的最大收益要么为第i-1天进行至多j次的最大收益，要么为最后一次交易在第i天进行的至多j次交易的最大收益。
l[i][j] = max(g[i-1][j-1] + max(0, prices[i] - prices[i-1]), l[i-1][j] + prices[i] - prices[i-1])
l[i][j]由两个变量构成，全局进行到i-1天至多j-1次交易(g[i-1][j-1])，在第i天进行一次交易(如果赚钱)；局部进行到第i-1天至多进行j次交易，加上第i天的交易，不管是否赚钱(否则不满足最后一次交易在当天进行的前提)。该算法的时间复杂度为O(nk)，空间复杂度为O(k)（调优后的结果），如果k远大于数组大小时，算法的效率比较底下，因此可以采用Best Time to Buy and Sell Stock II不限次数的解法。
代码如下：

class Solution {public:    int maxProfits(vector<int>& prices) {//不限次数        int maxProfiles = 0;        int len = prices.size();        for(int i = 1; i < len; ++i)            maxProfiles = max(maxProfiles, maxProfiles + prices[i]-prices[i-1]);        return maxProfiles;    }    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {        int len = prices.size();        if(len < 2)            return 0;        if(k > len)            return maxProfits(prices);        vector<int> l(k + 1, 0);        vector<int> g(k + 1, 0);        for(int i = 1; i < len; ++i){            int diff = prices[i] - prices[i-1];            for(int j = k; j >= 1; --j){                l[j] = max(g[j-1]+max(diff, 0), l[j]+diff);                g[j] = max(g[j], l[j]);            }        }        return g[k];    }};