CLRS 16.3赫夫曼编码

16.3-1
首先我们有以下几个不等式：

x.freq≤y.freqa.freq≤b.freqx.freq≤a.freqy.freq≤b.freq

若 x.freq=b.freq，则由第一、四两个不等式得：b.freq=x.freq≤y.freq≤b.freq，所以 y.freq=b.freq。
另外一个可类似证明。最后得到 a.freq=b.freq=x.freq=y.freq。

16.3-2
假设有一颗不满的二叉树的最优前缀码，存在某个非叶结点 x 只有一个孩子，一定存在一个叶结点 y，这个叶结点的深度大于 x.dpeth+1，将结点 y 变成结点 x 的孩子结点可以减少 y 的深度，变换之后的前缀码比最优前缀码更优，这与假设矛盾，因此不满二叉树不可能对应一个最优前缀码。

16.3-3
编码如下：

推广前 n 个斐波那契数的最优前缀码如下：

16.3-4
书上的代价计算公式是：B(T)=∑c∈Cc.freq⋅dT(c)。
当计算所有内部结点的两个孩子结点的联合概率之和时，如果我们针对某一个叶结点 c，c.freq 会被每个 c 的祖先结点算一次，一共 dT(c) 次，这和书上的公式一样的。

16.3-5
证明略。

16.3-6
按书上的提示，用 2n−1 位表示树的结构，内部节点用 1 表示，叶子节点用 0 表示。树高为 lgn。因此每个字母的二进制编码长度为 lgn，用 nlgn 位依次表示树上每一个叶子分别是 0,..,n−1哪个数，总共需要nlgn 位。

16.3-7
那就推广到树的结点有三个孩子结点，生成满三叉树，证明过程类似于书上的证明，略。

16.3-8
记出现最低频率字符的频率是 f，赫夫曼编码代价：B(T)=∑c∈Cc.freq⋅dT(c)≥∑c∈Cf⋅dT(c)。即所有叶结点的深度之和。当树 T 是一个完全的平衡二叉树时代价达到最小。因此有 B(T)≥f⋅∑c∈CdT(c)≥f⋅256⋅9。
由 8 位字符组成的数据文件代价 B(T′)=∑c∈C8⋅f(c)≤∑c∈C2f⋅8=256⋅8⋅2f。

16.3-9
证明略

注：CLRS 16.4、16.5节答案略