电磁波的传播

来源：互联网发布：cf网络异常重新登录编辑：程序博客网时间：2024/05/10 03:22

电磁波在介质表面的反射和折射

均匀线性介质中的电磁波

波动方程

\nabla 2 E - ε μ \partial 2 E \partial t 2 = 0

特解

E = E 0 e i (k z - ω t) B = B 0 e i (k z - ω t)

性质

相速度，等相面的运动速度
由
$k \cdot r - ω t = c o n s t .$
得
$v = d r 0 d t = ω k$
波速
将特解代入波动方程，得ω和k的关系
$k 2 = ε μ ω 2$
代入相速度方程，得
$v = ω k = 1 ε μ - - \sqrt = ε 0 μ 0 ε μ - - - - - \sqrt c$
εε0>1，μμ0≈1，所以介质中的波速始终小于光速。
B和E的关系
$B = k ω E = ε μ - - \sqrt e k \times E = 1 v e k \times E$

介质表面的折射和反射

这里写图片描述

以z=0为界面，上方是介电常数和磁导率分别为ε,μ的均匀线性介质，下方的介电常数和磁导率是ε′,μ′。
因为一般的电磁波可以分解成平面波，所以只考虑平面波的情形。
平面斜入射的平面波的方程
$E = E 0 e i (k \cdot r - ω t) B = 1 v e k \times E$
其中k=(kx,0,kz)
折射波的方程
$E' = E' 0 e i (k' \cdot r - ω' t) B' = μ' ε' - - - \sqrt e k' \times E'$
反射波的方程
$E'' = E'' 0 e i (k'' \cdot r - ω'' t) B'' = μ ε - - \sqrt e'' k \times E''$
根据E在界面切向的连续性，得
$E 0 x e i (k x x - ω t) + E'' 0 x e i (k'' x x + k'' y y - ω'' t) = E' 0 x e i (k' x x + k' y y - ω' t)$
这个式子在任意(x,y,t)都成立，所以有
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ k' x = k'' x = k x k' y = k'' y = 0 ω' = ω'' = ω$
所以说反射和折射不改变入射波的频率。
反射波的k
根据
$k = μ ε - - \sqrt ω$
入射波和反射波的环境和频率都相同，所以
$k'' = k$
所以
$k 2 x + k 2 z = k'' 2 x + k'' 2 z$
因为k′′x=kz，所以
$| k'' z | = | k z |, k'' z = - k z$
折射波的k
折射波和入射波在不同的介质中，波速不同，波长也不同。
$λ ' λ = k k ' = μ ε μ ' ε ' - - - - \sqrt$
定义折射率 $n = μ ε μ 0 ε 0 - - - - - \sqrt$
则有
$λ ' λ = n n '$
折射定律
由于
$sin i = k x k, sin i' = k ' x k '$
所以
$sin i sin i ' = k ' k = n ' n$
即
$n sin i = n' sin i'$

反射波和折射波的强度

三个波的相因子已经相等，所以还需要确定反射波和折射波的振幅。根据边界条件
由E∥连续，得

n \times (E 0 + E'' 0 - E' 0) = 0

由

D⊥连续，得

n \cdot (D 0 + D'' 0 - D' 0) = 0

由

H∥连续，得

n \times (H 0 + H'' 0 - E' 0) = 0

由

B⊥连续，得

n \cdot (B 0 + B'' 0 - B' 0) = 0

在线性介质中，

n \times (E 0 + E'' 0 - E' 0) = 0 n \cdot (ε E 0 + ε E'' 0 - ε' E' 0) = 0 n \times (1 μ k \times E 0 + 1 μ k'' \times E'' 0 - 1 μ ' k' \times E' 0) = 0 n \cdot (k \times E 0 + k'' \times E'' 0 - k' \times E' 0) = 0

考虑两种特殊情形

E垂直于入射面
利用两个切向连续的方程解得
$E ' 0 E 0 = 2 μ ' n cos i μ ' n cos i + μ n ' cos i ' E '' 0 E 0 = μ ' n cos i - μ n ' cos i ' μ ' n cos i + μ n ' cos i '$
E平行于入射面
利用两个法向连续的方程解得
$E ' 0 E 0 = 2 μ ' n cos i μ n ' cos i + μ ' n cos i ' E '' 0 E 0 = μ n ' cos i - μ ' n cos i ' μ n ' cos i + μ ' n cos i '$

一般可以认为μ=μ′=1，所以有垂直入射时

E ' 0 E 0 = 2 n cos i n cos i + n ' cos i ' E '' 0 E 0 = n cos i - n ' cos i ' n cos i + n ' cos i ' = - sin ( i - i ' ) sin ( i + i ' )

平行入射时

E ' 0 E 0 = 2 n cos i n ' cos i + n cos i ' E '' 0 E 0 = n ' cos i - n cos i ' n ' cos i + n cos i ' = tan ( i - i ' ) tan ( i + i ' )

特殊情形

在此基础上讨论几个特殊情形

半波损失

上述的电场振幅都是复数，但是它们的比值都是实数。如果比值为负，说明相位发生突变，称为半波损失。
可以看出，折射波不会发生半波损失，只有垂直偏振的波(\?)从光疏介质向光密介质中入射时才会发生半波损失。

平行偏振的反射波的消失

平行偏振的反射波

E '' 0 E 0 = tan ( i - i ' ) tan ( i + i ' )

所以当

i+i′=0的时候，

E′′0=0，这时反射波不存在。这个特殊角称为布儒斯特角，记作

iB。结合折射定律，得

tan i B = n ' n

全反射

当电磁波从光密介质向光疏介质入射时，折射角大于入射角。由于折射角不大于π2，所以入射角存在一个临界值。下面考虑入射角超过这个临界值的情形。

当入射角大于临界值时，折射定律仍然成立，不过此时无法定义折射角，折射定律的形式为

n sin i = n k x k = n' k ' x k ' (因 为 k x = k' x)

此时

k′x>k′，因为

k′2=k′2x+k′2z，所以

kz是纯虚数，

kz=iτ，所以折射波可以表示成

E' = E' 0 e - τ z e i (k x x - ω t)

沿界面传播，且幅度随着透射深度衰减。

导电介质中的电磁波

电磁波在导体中会产生电流，产生焦耳热，导致波的耗散和衰减。

\nabla \cdot E = 0 \nabla \times E = - \partial B \partial t \nabla \cdot B = 0 \nabla \times B = μ 0 j + ε μ \partial E \partial t = μ 0 σ E + ε μ \partial E \partial t

由此得到的波动方程多了一个阻尼项

\nabla 2 E - μ σ \partial E \partial t - ε μ \partial 2 E \partial t 2 = 0

方程的特解仍然可以写成

E = E 0 e i (k \cdot r - ω t)

代回方程，可以得到

k和

ω的关系。

k 2 = k 2 x + k 2 y + k 2 z = ε μ ω 2 + i μ σ ω

相比于介质中的关系，这是一个复数关系，因此

ω和

k中至少有一个分量是复数。

扰动电场产生的电磁波

如果t=0时导体内有一个扰动电场 E0(r)，将电场用傅里叶变换展开，得

E 0 (r) = \int e i k \cdot r E 0 k (r) d k

其中，每个

E0k(r)是一个单频的平面波，

k为实数。它们都满足上面的推导，所以每个分量的

ω都是复数。设

ω=ω0−iω1，那么

E k = E 0 k e i (k \cdot r - ω t) = E 0 k e - ω 1 t e i (k \cdot r - ω 0 t)

这是一个振幅随时间衰减的波。

导体中的透射波

若电磁波从导体外面射入导体（假设垂直入射），那么和上节的结论相同

ω = ω' = ω''

所以

k是复数。
不妨设透射波的

k=(0,0,kz)，

kz=kz0+iτ，那么电波的方程

E = E 0 e - τ z e i (k z 0 z - ω t)

波幅不随时间衰减，而随距离（透射深度）衰减，所以这仍然是一个稳态的波。

kz0描述透射波的传播，

τ描述衰减的深度。

令

k 2 = k 2 x + k 2 y + k 2 z = ε μ ω 2 + i μ σ ω

两边的实部和虚部分别相等，得

⎧ ⎩ ⎨ k 2 z 0 - τ 2 = ε μ ω 2 k z 0 τ = 1 2 μ σ ω

上式说明总有kz0>τ，分两种情况讨论

不良导体

若

τ ≪ k z 0

即衰减很弱，那么

σ ≪ 2 ε ω

即

σ很小，这种情况对应着不良导体。此时解得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k z 0 = ε μ - - \sqrt ω = μ ε μ 0 ε 0 - - - - - \sqrt k τ = 1 2 μ ε - - \sqrt σ

和不导电介质中基本相同。

良导体

如果τ≈kz0，那么

k 2 z 0 - τ 2 ≪ k z 0 τ

所以

σ ≫ 2 ε ω

即

σ很大，对应良导体的情形。此时解得

k z 0 = τ = 1 2 μ σ ω - - - - - \sqrt ≫ ε μ - - \sqrt ω = μ ε μ 0 ε 0 - - - - - \sqrt k

波长比在不导电介质中短很多，且振幅衰减很快，穿透深度

1τ和波长相当。

下面考虑振幅。设入射波是沿x方向的线偏振波，由E∥和H∥的连续性，并忽略μ和μ0的差别，得到

E 0 + E'' 0 = E' 0 k (E 0 - E'' 0) = k' E' 0

解得

E '' 0 E 0 = k - k ' k + k ' E ' 0 E 0 = 2 k k + k '

对于良导体，

k′=k0(1+i),

k0k=12μσω−−−−−√μ0ε0−−−−√ω=σ2ε0ω−−−−−√
所以

k′k=σε0ω−−−−√eiπ4≫1
所以

∣ ∣ ∣ E '' 0 E 0 ∣ ∣ ∣ = 1 ∣ ∣ ∣ E ' 0 E 0 ∣ ∣ ∣ = 2 ε 0 ω σ - - - - \sqrt ≪ 1

这说明入射波几乎不能进入良导体，几乎完全被反射了。

理想导体

把σ→∞的导体称为理想导体，理想导体内没有电磁场。在导体的边界条件中

n \cdot E = Σ ε n \times E = 0 n \cdot B = 0 n \times B = μ K

E和

B都是指导体外面的电磁场。
所以导体外面的电场垂直于表面；磁场平行于表面；导体能通过调节表面电荷密度和面电流密度保证内部电磁场为0.

微波在波导管内的传播

高频电磁波的传播不能直接用导线，否则能量损失严重。微波常常用波导管来传输。现在讨论一个矩形波导管模型。
这里写图片描述

建模

设一个截面为矩形的波导管，x,y方向的长度分别为a,b，在波导管中沿z轴方向传播的电磁波满足的方程

\nabla 2 E - 1 c 2 \partial 2 E \partial t 2 = 0

由于理想导体的特性，边界条件

E y | x = 0, a = 0 E x | y = 0, b = 0 E z | x = 0, a; y = 0, b = 0

求解

方程的特解为

E = E 0 (x, y) e i (k z z - ω t)

其中

E 0 x = [α x 1 cos (k x x) + α x 2 sin (k x x)] [β x 1 cos (k y y) + β x 2 sin (k y y)] E 0 y = [α y 1 cos (k x x) + α y 2 sin (k x x)] [β y 1 cos (k y y) + β y 2 sin (k y y)] E 0 z = [α z 1 cos (k x x) + α z 2 sin (k x x)] [β z 1 cos (k y y) + β z 2 sin (k y y)]

代入边界条件，得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E 0 x = [A 1 cos (k x x) + A 2 sin (k x x)] sin (k y y) E 0 y = sin (k x x) [B 1 cos (k y y) + B 2 sin (k y y)] E 0 z = C 1 sin (k x x) sin (k y y) k x = m π a k y = n π a k 2 x + k 2 x + k 2 x = ω 2 c 2

A1,A2,,B1,B2,C1都是待定的复常数。代入横波性条件

∇⋅E=0，得

k x (- A 1 sin k x k + A 2 cos k x x) sin k y y + k y sin k x x (- B 1 sin k y y + B 2 cos k y y) + i k z C 1 sin (k x x) sin (k y y) = 0

对任意的点都成立，可以得

A 2 = 0 B 2 = 0 k x A 1 + k y B 1 - i k z C 1 = 0

所以

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E 0 x = A 1 cos (k x x) sin (k y y) E 0 y = B 1 sin (k x x) cos (k y y) E 0 z = C 1 sin (k x x) sin (k y y) k x = m π a k y = n π a k 2 x + k 2 y + k 2 z = ω 2 c 2

磁场

磁场B的形式也是

B = B 0 (x, y) e i (k z z - ω t)

根据

∂B∂t=−∇×E
即
得到

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪B0x=1ω(\?)(B1kz+iC1ky)sin(kxx)cos(kyy)B0y=1ω(A1kz+iC1kx)cos(kxx)sin(kyy)B0z=iω(B1kx−A1ky)cos(kxx)cos(kyy)

可以看出，当给定ω,m,n之后，kz也确定了，还需要A1,B1,C1中四个实参量，就可以得到确定的解。

横电/磁波型

可以引入两种基本波型作为基。满足

C 1 = 0

的波作为一种基本波型，满足

B 1 k z = A 1 k y

的波作为另一种基本波型。前一种电矢量垂直于传播方向称为横电型波

TEmn，后一种磁矢量垂直于传播方向，称为横磁型波

TMmn。

频率和波导管尺寸的关系

由于

k 2 x + k 2 y + k 2 z = (m π a) 2 + (n π b) 2 + k 2 z = ω 2 c 2

的限制，在波导管内要传播频率

ω的波,

m,n都有上限，具体个数和波导管的尺寸有关。而对一根固定的波导管来说，因为

m,n不能同时为

0，所以

ω有下限，即

ω min = c π l, l = max {a, b}

波长

λ max = 2 π c ω min = 2 l

所以波导管能传送的最大波长是

2l。

本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》

0 0