Dijkstra算法暢遊星際

今天淩晨，不知大家有沒有去看雙子座流星雨。我和我宿舍的哥們兒可是頂著嚴寒都去了的。報紙上說高峰時會達到每分鐘200顆，呵呵，好像沒有這麽誇張。流星不那麽容易被看到，於是我們便只得一直仰著脖子；仰酸了，就只好忍著刺骨的樹膠跑道躺在地上。不過這麽苦還是挺值得的，因爲流星真的好漂亮啊！特別是那種特別大的，有的火紅、有的白紫，隕落的時候照亮了穹隆的西北角；但更多的是那些小的，它們偷偷地、迅速地滑過天際，你反應都還來不及，就別提許願了呵呵！

看得累了，眼睛花了，我就幻想著自己開著星際飛船在每顆星星閒來回地馳騁。嘿，我突然想問你一個很古怪的問題，如果這些星星之間已經用星際隧道連接成了一個網絡，每條隧道的距離以及耗油量都不同，而你只能從星級隧道中飛行，那你應該怎麽尋找從A星到B星的最便捷的路徑呢？嘿嘿，讓我來告訴你思路吧。

實際上，我剛才提出的那個星際模型是一個典型的圖（graph）。什麽是圖呢？圖就是一個有限的集合，包括了一群節點（vertex）和把節點連成一個網絡的帶了權值的邊（edge），數學圖論裏把它記作Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）。現在來抽象我們的問題吧：我們就是要在一個圖内尋找某一個到另一個節點的路徑，使得沿著這條路徑走經過的邊的權值之和最小。在尋找最短路徑的諸多算法中，最有名的應該是Dijkstra算法了。在我學圖的那堂課上，這個算法讓我細細品味了很久。

下面的代碼摘自我的一份C++作業，其中的圖是用一個二維等長寬數組表示的。我故意刪掉了註釋，看看你能不能自己看懂它。

#include "iostream"
#define VEXNUM 6
#define INFIN 32767

void Dijkstra(int (*ThisGraph)[VEXNUM], int from, int to) {

 int Dist[VEXNUM], Path[VEXNUM], IsVisited[VEXNUM];

 for(int i = 0; i < VEXNUM; i++) {

  Dist[i] = ThisGraph[from][i];
  IsVisited[i] = 0;
  if(i != from && Dist[i] <INFIN)
   Path[i] = from;
  else
   Path[i] = -1;

 }

 IsVisited[from] = 1;
 Dist[from] = 0;
 for(i = 0; i < VEXNUM - 1; i++) {

  int min = INFIN;
  int u = from;
  for(int j = 0; j < VEXNUM; j++)
   if(!IsVisited[j] && Dist[j] < min) {

    u = j;
    min = Dist[j];

   }
  IsVisited[u] = 1;
  for(int w = 0; w < VEXNUM; w++) {

   if(!IsVisited[w] && ThisGraph[u][w] < INFIN && Dist[u] + ThisGraph[u][w] < Dist[w]) {

    Dist[w] = Dist[u] + ThisGraph[u][w];
    Path[w] = u;

   }

  }

 }

 std::cout<<"從"<<from<<"點到"<<to<<"點的最短路徑為（從右到左輸出）："<<std::endl;
 i = to;
 while(i != from) {

  std::cout<<i<<"<-";
  i = Path[i];

 }
 std::cout<<i;
 std::cout<<std::endl<<"長度為："<<Dist[to];

}

你結合著看一個例子，這是一個圖的典型的鄰接矩陣：

INFIN	INFIN	10	INFIN	30	100
INFIN	INFIN	5	INFIN	INFIN	INFIN
INFIN	INFIN	INFIN	50	INFIN	INFIN
INFIN	INFIN	INFIN	INFIN	INFIN	10
INFIN	INFIN	INFIN	20	INFIN	60
INFIN	INFIN	INFIN	INFIN	INFIN	INFIN

對上面的圖執行Dijkstra算法，求得的步驟是：

點	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5
1	INFIN	INFIN	INFIN	INFIN	INFIN
2	10  0->2
3	INFIN	60 0->2->3	50 0->4->3
4	30 0->4	30 0->4
5	100 0->5	100 0->5	90 0->4->5	60 0->4->3->5
最短	2	4	3	5
IsVisited	0、2	0、2、4	0、2、3、4	0、2、3、4、5

上面這個例子是查找從0點出發到達所有其他頂點的最短路徑。看懂了嗎？實際上，要求從某個源點到某個頂點的最短距離，必須遍歷圖的所有頂點，把源點到所有頂點的最短距離都求出來才行。上面的Dist數組就是用來存放這所有的最短距離的。Dist初態就是從源點到其它點的直接路徑的權值。但是你也看出來了，大多數情況下，從一個點到另一個點的最短路徑並不是直接路徑，怎麽辦？

因此這裡另外有一個取巧的地方，就是引進了IsVisited這個數組。它實際上是一個集合，如果它包含了i點，那麽IsVisited[i]就標記為1，否則為0。在初態，IsVisited裏標記為1的只有源點，以後每求得一個最短路徑，就往IsVisited集合中增加一個點。當所有頂點都被加到IsVisited集合中，就意味著遍歷完畢，算法結束了。

看懂了IsVisited的作用，你就理解了Dijkstra。我們先看最簡單的情況：和0點直接相鄰的點有2、4、5，並且到2的權值最小，那麽，我們可以打包票說，從0到2之間最短路徑就是這條直接相連的路徑了。那麽，我們可以把2標記為IsVisited了。但是，我們在這一步卻只能斷定這一點，因爲你無法保證從0到4或者5的直接權值一定最小。請你好好回味一下，別急著往下看。我覺得，所有複雜的東西，把它最簡單的情況搞透徹，就弄懂了一大半！

以下的每一步實際上都是第一步最簡單情況的擴展，只是另外多考慮到了之前已放入IsVisited集合裏的頂點。因爲：下一次查找到的最短路徑或者是直接路徑0->2，或者是中間經轉了IsVisited中頂點而到達2點的路徑，反正短的那條就一定是了！你懷疑這句話嗎？如果不是這樣的話，那麽就意味著最短路徑上存在一點不在IsVisited中了。但是別忘了，我們是按照路徑長度遞增順序來產生每個最短路徑的，所以長度比這條路徑短的所有路徑都已經產生了，它們的終點一定在IsVisited中！假設推翻了……你可以大膽地挑出那條最短的路徑，把它的終點放進IsVisited集合裏，繼續下一輪查找。只要圖是連通的，每一次都能找到到達某一個點的最短路徑，那麽查找VEXNUM-1次就OK啦！

説道流星，你可千萬別以爲查找最短路徑只是存在于太空科幻小説中，其實就在我們的地球上，它就有著極其廣闊的運用背景。Dijkstra已經廣泛地應用于AI中——有圖的地方，就有Dijkstra。把Dijkstra算法稍加修改，還能得到另一個很有名的Prim算法，用於建立最小支撐樹。

哎呀差點忘了，我們剛才只是說找到了最短路徑的大小，但是最短路徑經過了哪些頂點還沒求呢！你可能早看出來了，這個Path數組就是專門來干這個的嘿嘿！它保存的是到達每條最短路徑終點的前一個頂點。呵呵，很巧是吧。不過我上面的代碼可以按照從終點到起點的順序把頂點打印出來，你恐怕看了相當不爽——“涕淌君怎麽年紀輕輕就這麽懶！”好吧，就留給你完成吧！