KMP算法详解

以下转自http://blog.csdn.net/buaa_shang/article/details/9907183
字符串匹配是计算机的基本任务之一。
举例来说，有一个字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，我想知道，里面是否包含另一个字符串”ABCDABD”？

1.

首先，字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一个字符与搜索词”ABCDABD”的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

2.
因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

3.
就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

4.
接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

5.

直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

6.
这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把”搜索位置”移到已经比较过的位置，重比一遍。

7.
一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

8.
怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

9.
已知空格与D不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：
　　移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值
因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

10.
因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

11.
因为空格与A不匹配，继续后移一位。

12.
逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

13.
逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。

14.
下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。
首先，要了解两个概念：”前缀”和”后缀”。 “前缀”指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；”后缀”指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

15.
“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，
　　－　“A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；
　　－　“AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；
　　－　“ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；
　　－　“ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；
　　－　“ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；
　　－　“ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2；
　　－　“ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。
　　
16.
“部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。
（完）

以下转自http://kenby.iteye.com/blog/1025599

一 kmp算法为什么比传统的字符串匹配算法快

假设文本T = y1y2y3….yn， 模式 P = p1p2p3…pm， 传统的匹配算法把位移为0,1,…n-m时的文本依次跟P比较，每次比较最多花费O(m)的时间，算法的复杂度为O((n-m+1)*m)。这种算法没有利用匹配过的信息，每次都从头开始比较，速度很慢。而kmp算法充分利用了之前的匹配信息，从而避免一些明显不合法的位移。加快匹配过程。来看一个例子：

#000xxxx000###### 文本T

|<—- s —->|000xxxx000~~~ 模式P

假设位移为s时，T和P匹配了上述000xxxx000部分，即匹配到了模式P的前10个字符，如果按照传统的匹配方法，下一步就是从位移s+1开始比较，而kmp算法则直接从位移s+7开始比较，而且断定：位移s+7对应的串和模式P的前3个字符是相同的，可
以不用比较，直接从第4个字符开始比较，这种跳跃式的匹配是不是比传统匹配方法快很多，如下图所示：

###000xxxx000###### 文本T

|<——– s+7——–>| 000xxxx000~~~ 模式P

那么kmp是如何实现这种跳跃的呢？注意到所给的字符，即模式P的前10个字符，有一个特点：它的开始3个字符和末尾3个字符是一样的，又已知文本T也存在相同部分的字符，我们把位移移动 10-3 = 7个位置，让模式P的开始3个字符对准文本T的末尾3个字符，那么它们的前3个字符必然可以匹配。

二 构造前缀数组

上面的例子是文本T和模式P匹配了前面10个字符的情况下发生的，而且我们观察到模式P的前缀P10中，它的开始3个字符和末尾3个字符是一样的。如果对于模式P的所有前缀P1,P2…Pm，都能求出它们首尾有多少个字符是一样的，当然相同的字符数越多越好，那么就可以按照上面的方法，进行跳跃式的匹配。

定义：
Pi表示模式P的前i个字符组成的前缀， next[i] = j表示Pi中的开始j个字符和末尾j个字符是一样的，而且对于前缀Pi来说，这样的j是最大值。next[i] = j的另外一个定义是：有一个含有j个字符的串，它既是Pi的真前缀，又是Pi的真后缀

规定：
next[1] = next[0] = 0

next[i]就是前缀数组，下面通过1个例子来看如何构造前缀数组。
例子1：cacca有5个前缀，求出其对应的next数组。
前缀2为ca，显然首尾没有相同的字符，next[2] = 0
前缀3为cac，显然首尾有共同的字符c，故next[3] = 1
前缀4为cacc，首尾有共同的字符c，故next[4] = 1
前缀5为cacca，首尾有共同的字符ca，故next[5] = 2

000#xxx000 前缀P10
000 末尾3个字符

如果仔细观察，可以发现构造next[i]的时候，可以利用next[i-1]的结果。假设模式已求得next[10] = 3，如下图所示：

000#xxx000 前缀P10
000 末尾3个字符

根据前缀函数的定义：next[10] = 3意味着末尾3个字符和P10的前3个字符是一样的
为求next[11]，可以直接比较第4个字符和第11个字符，如下图所示：蓝色和绿色的#号所示，如果它们相等，则
next[11] = next[10]+1 = 4,这是因为next[10] = 3保证了前缀P11和末尾4个字符的前3个字符是一样的.

000#xxx000# 前缀P11
000# 末尾4个字符

所以只需验证第4个字符和第11个字符。但如果这两个字符不想等呢？那就继续迭代，利用next[next[10] = next[3]的值来求next[11]。其实这里用到的是一种DP思想，因为next[10] = 3的，即表明了[1,3]跟[8,10]是相同，既然相同的话，那么next[3] ＝ 2的时候，即[1,2]跟[2,3]是相同的
，因为有[1,3] ＝＝ [8,10]，所以有[1, 2] == [8,9]，所以接下来要判断的，便是第三个字符是否和第10个字符相等了

这里给出的KMP匹配的时候，下标是从0开始计算的，且初始next[0]时候是-1

void getFail() {    next[0] = -1;    int i = 0, j = -1;    while (i < len) {        //当j等于－1时，即表明前缀和后缀相等的长度为0        //当str[j] == str[i]时，即[0,j] == [i - j, i]的，所以公共长度为j，又因为从0开始，所以j + 1，这里也有另一种含义，当第i + 1位不匹配的时候，下一个用来判断的是第j + 1个        if (j == -1 || str[j] == str[i]) {            i++; j++;            next[i] = j;        }        else j = next[j];    }}