自然数e的理解
来源:互联网 发布:淘宝商品资质需要填吗 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 19:07
在电路设计计算中,有很多公式都有EXP(N)或者ln(N)的计算,而这些都和“e” 这个“自然数”有关系。
一直疑惑到底这个“e”为什么称为自然数 ,而且被冠以最美的数,最自然的数等等美誉。
假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。那么很显然,这种生物的数量,每天都会翻一倍。今天
是1个,明天就是2个,后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式:
growth=2^x
上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数,就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样:
growth=(1+100%)^x
其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内的增长率。
我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。
当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
如果我们继续修改假设,这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力,也就是将1天分成3个阶段。
那么,最后我们就可以得到大约2.37个细胞。
很自然地,如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?
当n趋向无限时,这个式子的极值等于2.718281828...。
也就是式子:
因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。
下面还有几个关于e的推导公式:
1.
+1
;2.
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