地图染色问题(回溯法)

1.问题描述:

对图G共分成n个顶点,有m种颜色,现在要对其进行作色,要求相邻的顶点不能染相同的颜色.

2.算法设计:

• 对于给定无向连通图G 可用邻接矩阵表示,该邻接矩阵用一个二维数组表示,其中为了直观,第0行和第0列全赋值为0,不参与算法.

如邻接矩阵 a[i][j],若a[1][2]=1;则表示地图1区域和2区域(相邻)连通,不难知道 a[2][1]也为1.  若i,j不相邻,则a[i][j] = a[j][i]=0.

• 关于不同地图区域的着色,可以用一维数组x[i]表示,如: x[3]=2; 表示第3块区域着第2号色.

3.解空间:

用一颗高度为n+1的m叉树,即表示每个结点有m种着色选择.

• 用回溯法Backtrack(i) 按深度遍历搜索,当找到第n+1层,即i>n,表示找到一个解决方案,注意只有符合条件查找才会继续.
• 代码示例:

#include<iostream>using namespace std;class Color{friend int mColoring(int,int, int **);//友元函数声明private:bool OK(int k);void Backtrack(int t);int n,//顶点数m,//颜色数* * a,//图的邻接矩阵,记录相邻顶点* x;//当前解, x[2]=3;表示第二个点染3号色long sum;//记录截至当前解决方案个数};bool Color::OK(int k)//函数定义{//查看是否符合条件for(int j=1;j<=n;j++)if( (a[k][j]==1)&&(x[k]==x[j]) )//即第k个和第j个相邻且染同色(在邻接矩阵里有边的点不能染同色)return false;return true;//此处不可写else 必须走完j,和所有相邻的点检测一遍}void Color::Backtrack(int t){if(t>n){sum++;//解决方案++ 拓展至子结点cout<<"染色方案_"<<sum<<":\t";for (int i = 1; i <=n; i++) //输出解决方案cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;}else for (int i = 1; i <=m; i++)//每种颜色都试下{x[t]=i;//尝试染色if(OK(t))Backtrack(t+1);//if:ok 递归进入下一个x[t]=0;}}//-------------------------------------------------------------int mColoring(int n,int m, int **a)//调用函数{Color X;X.n=n;X.m=m;X.a=a;//邻接矩阵X.sum=0;//解决方案初始化0int *p = new int [n+1];//当前解初始化;for (int i = 0; i <=n; i++)//即使第0个不用,亦初始化p[i]=0;X.x = p;//x指向p 共享一块空间X.Backtrack(1);delete []p;//删除数组return X.sum;}//------------------------------------------------------void Show_TheMap(int **p, int n)//输出邻接矩阵{int i,j;cout<<"该图邻接矩阵如下:\n";for (i = 1; i <=n; i++)for (j = 1; j <=n; j++){cout<<p[i][j]<<" ";if(j==n)cout<<endl;}}void main(){int **a = new int *[6];//第0个不存,只存 邻接矩阵:1-5行 1-5列for (int i = 0; i < 6; i++){a[i] = new int[6];}//邻接矩阵初始化for (int i = 1; i < 6; i++)for(int j=1;j < 6; j++)a[i][j]=1;for(int i=1;i<6;i++)a[i][i]=0;//对角线初始化为0,其余初始化为1;此处为测试例子a[3][5]=a[5][3]=0;a[1][5]=a[5][1]=0;//表示1-3,5-3不相邻Show_TheMap(a,5);cout<<endl;cout<<"共有"<<mColoring(5,4,a)<< " 个染色方案"<< endl;//调用}

程序结果示例:

该算法引用自:《计算机算法设计与分析》————电子工业出版社p137-p139