动态规划：钢条切割问题实现

钢条切割问题是这样的：

一段钢条可以被切割成若干长度不一的更短的钢条，给定一个价目表，问如何切割收益最大。其中价目表包括了长度为从i=1到i=n的钢条分别的价格Pi。比如P1=1，P2=5表示长度为1的钢条的价值为1，长度为2的钢条的价值为5。

这是一个典型的动态规划问题。

第一种方法是自顶向下的方法，假定我们已经知道了长度为K的钢条的最大收益，然后通过这个最大收益求解长度为K+1的钢条的最大收益。因此我们递归地定义了钢条的最大收益。虽然思想是由小求大，但是实际程序需要我们由顶向下求解。代码如下：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <memory.h>#define N 100int prices[N];              //长度为n的钢条的价格int r[N];                   //长度为n时的最大收益int cut_rod(int n);         //求最大收益int answer[N];              //保存切割位置int main(){    int n;    while(1 == scanf("%d", &n))    {        memset(answer, 0, sizeof(answer));        memset(r, -1, sizeof(r));        for(int i = 1; i <= n; ++i)            scanf("%d", &prices[i]);        printf("%d\n", cut_rod(n));    }    return 0;}/* 自顶向下的递归求解算法 */int cut_rod(int n){    if(r[n] > 0)    //如果已经算过，直接返回        return r[n];    int temp = -1;    if(0 == n)      //长度为0的钢条价格为0        temp = 0;    //下面的循环递归求解长度为n的钢条的最大收益    for(int i = 1; i <= n; ++i)    {        int x = prices[i] + cut_rod(n - i);        if(x > temp)            temp = x;    }    r[n] = temp;    return temp;}

这种方法可以求得最大收益，但是构建最优切割方案是个麻烦的事情，所以还有一种非递归的方法，在求解最优子问题的同时，逐步构建了最优方案。

这种非递归的方法的思想和上面的思想相同，即由短求长，但是采用了非递归的方法。代码如下：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <memory.h>#define N 100int prices[N];                          //长度为n的钢条的价格int r[N];                               //长度为n时的最大收益int cut_rod_bottom_up(int n);           //求最大收益int answer[N];                          //保存切割位置int main(){    int n;    while(1 == scanf("%d", &n))    {        memset(answer, 0, sizeof(answer));        memset(r, -1, sizeof(r));        for(int i = 1; i <= n; ++i)            scanf("%d", &prices[i]);        printf("%d\nBest Cut:", cut_rod_bottom_up(n));        int x = 0;        //输出最优方案的切割位置        while(n > 0)        {            x += answer[n];            printf("%d ", x);            n = n - answer[n];        }        printf("\n");    }    return 0;}/* 自底向上的非递归求解算法 */int cut_rod_bottom_up(int n){    r[0] = 0;    for(int i = 1; i <= n; ++i)    {        int x = 0;        //下面的循环，求解长度为i的钢条的最大收益        for(int j = 1; j <= i; ++j)        {            if(prices[j] + r[i-j] > x)            {                x = prices[j] + r[i-j];                answer[i] = j;              //存储长度为i的钢条的左边的第一个切割位置            }        }        r[i] = x;   //储存长度为i的钢条的最佳收益    }    return r[n];}