并查集在kruskal算法中应用

    在无向图论问题中，经常需要得到图的最小生成树，用于解决这个问题有两个经典算法：kruskal和prim，前者用于稀疏图，后者用于稠密图。kruskal算法的核心思想是贪心，按照权值顺序，先选取权值最小的边，再选取权值次小的边，依此类推，直到所选边足够把所有的点连接起来，这时边数为节点数-1。但有个选边的前提，那就是待选边不能和已选边组成回路。至此，kruskal算法要解决的问题便成了图的连通分支判断问题。而并查集正是用于求解该问题的有效方法。

    并查集是一种树形数据结构，其实现是定义一个长度为N+1（N为图的节点个数）的数组，数组元素值初始化为下标，表示所有的节点都初始化为由一个单点组成的树，每个节点都是自身的祖先。那么并查集如何判断两个连通分支是否是一个连通分支（即构成回路）呢？方法就是查找两棵树的祖先，如果祖先相同，则表示这两个连通分支是一个连通分支。除了查找，并查集还有一个方法用来合并两个连通分支，实现就是把A树（连通分支）的祖先设置为B树（连通分支）的祖先，反过来也行。

    kruskal算法通过不断地选边，然后查找这条边的两个节点所在的连通分支，再合并分支，最终得到了一颗最小生成树。算法的时间复杂度为O(NlogN)。

   JAVA实现如下：

public class Kruskal {/** * 查找分支中某个元素的祖先，当祖先为自身时停止查找 * @param x * @param branch * @return */public static int find(int x,int[] branch){while(x!=branch[x]){x = branch[x];}return x;}/** * 合并分支，设branch[a]的祖先为b * @param x * @param branch */public static void join(int a,int b,int[] branch){branch[a]=b;}public static void main(String args[]){Scanner in=new Scanner(System.in);//n表示节点数，m表示边数int n = in.nextInt();int m = in.nextInt();Edge[] edges = new Edge[m];Edge edge = null;//读入每条边的信息for(int i=0;i<m;i++){edge = new Edge();edge.a = in.nextInt();edge.b = in.nextInt();edge.w = in.nextInt();edges[i]=edge;}in.close();Arrays.sort(edges);/** * 并查集初始化为N个分支，每个人都是自己的祖先 */int[] branch = new int[n+1];for(int i=0;i<=n;i++){branch[i]=i;}int selected = 0;int weightTotal = 0;//无需回溯for(int i=0;i<m && selected<n-1;i++){//查找两个结点的祖先int rootA = find(edges[i].a,branch);int rootB = find(edges[i].b,branch);if(rootA!=rootB){//合并两个分支，可以把A分支的祖先设为B分支的祖先，反之亦可join(rootA,rootB,branch);weightTotal += edges[i].w;selected ++;}}System.out.println(weightTotal);}}class Edge implements Comparable<Edge>{public int a;public int b;public int w;@Overridepublic int compareTo(Edge e) {return this.w - e.w;}}