哈夫曼树

哈夫曼树概念

哈夫曼(Huffman)树又称最优二叉树。它是n个带权叶子结点构成的二叉树中，带权路径长度WPL最小的二叉树。因为构造这种树的算法是最早由哈夫曼于1952年提出的，所以被称之为哈夫曼树。

二叉树的性质

二叉树中有五点性质非常重要，需要记住。
性质1：在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1)个结点
性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点
性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log(n)]+1([x]表示不大于x的最大整数)
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为[log(n)]+1)的结点按层序编号(从第1层到第[log(n)]+1层，每层从左到右)，对任一结点i(1<=i<=n)有：
(1).如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]
(2).如果2i>n，则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子是结点2i
(3).如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

基本术语

结点的权
“权”就相当于“重要度”，我们形象的用一个具体的数字来表示，然后通过数字的大小来决定谁重要，谁不重要。
路径
树中从“一个结点”到“另一个结点”之间的分支。
路径长度
一个路径上的分支数量。
树的路径长度
从树的根节点到每个节点的路径长度之和。
节点的带权路径路径长度
其实也就是该节点到根结点的路径长度乘以该节点的权。
树的带权路径长度
树中各个叶节点的路径长度*该叶节点的权的和，常用WPL(Weight Path Length)表示。

其中二叉树性质3证明如下：
T = n0 + n1 +n2
（1） 按照边求和得： T = n1 + 2 * n2 + 1
（2） 所以 （2） - （1）可得 n2 + 1 - n0 = 0
所以n0 = n2 + 1

哈弗曼树有一个性质：
哈夫曼树的总结点数是2n-1（n是叶子节点数）
证明如下：

因为二叉树中n0=n2+1;
所以节点总数T=n0+n1+n2=n2+1+n1+n2;
又n1=0，
所以T=2n2+1=2(n0-1)+1=2n0-1,得证

哈夫曼数构建和编码

详见《入门经典》P235
1.首先将字符按权值大小排序成向量P；
2.每次合并后的点push_back到向量Q，因为后合并的点一定小于先合并的点，所以Q内也是有序的；
3.这样每次比较P，Q的首元素就可以提取出两个最小的点，进行合并

2、3步骤相当于时间复杂度为O（n），加上1排序O（nlgn），总时间复杂度为O（nlgn）

#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;struct node{    int w;    node* lchild;    node* rchild;    node():w(0),lchild(NULL),rchild(NULL){}};node* huffman(int weights[],int len){    sort(weights,weights+len);    vector<node*> P;    for (int m = 0; m < len;m++){        node* n = new node();        n->w = weights[m];        P.push_back(n);    }    vector<node*> Q;    int i = 0, j = 0;    while (i<len || Q.size()<len-1){//因为度为2的节点数为len-1个        if (i==0){            node* p = new node();            p->lchild = P[0];            p->rchild = P[1];            p->w = P[0]->w + P[1]->w;            Q.push_back(p);            i += 2;        }        else{            node* p = new node();            vector<node*> tmp(2);            for (int cnt = 0; cnt < 2;cnt++){                if (i < len){                    if (j<Q.size() && P[i]->w > Q[j]->w){                        tmp[cnt] = Q[j];                        j++;                    }                    else{                        tmp[cnt] = P[i];                        i++;                    }                }                else{//处理P向量用完的情况                    tmp[cnt] = Q[j];                    j++;                }            }            p->lchild = tmp[0];            p->rchild = tmp[1];            p->w = tmp[0]->w + tmp[1]->w;            Q.push_back(p);        }    }    return Q[len - 2];}void print(node* root){    if (root != NULL){        cout << root->w<<" ";    }    if (root->lchild != NULL){        print(root->lchild);    }    if (root->rchild!=NULL){        print(root->rchild);    }}void huffman_code(node* root,int code[],int cur){    if (root->lchild == NULL&&root->rchild == NULL){        for (int i = 0; i < cur;i++){            cout << code[i];        }        cout << endl;    }    if (root->lchild!=NULL){        code[cur] = 1;        huffman_code(root->lchild, code, cur + 1);        code[cur] = 0;//修改了全局变量一定要改回来    }    if (root->rchild!=NULL){        code[cur] = 0;        huffman_code(root->rchild, code, cur + 1);        code[cur] = 1;    }}int main(){    int weights[] = {2,5,7,13};    int len = 4;    node* root = huffman(weights, len);    //print(root);    int *code=new int[len];    huffman_code(root, code, 0);    return 0;}