LeetCode 292: Nim Game (Nim游戏)

原题目:

You are playing the following Nim Game with your friend:
There is a heap of stones on the table, each time one of you take turns to remove 1 to 3 stones. The one who removes the last stone will be the winner.
Write a function to determine whether you can win the game given the number of stones in the heap.
For example, if there are 4 stones in the heap, then you will never win the game: no matter 1, 2, or 3 stones you remove, the last stone will always be removed by your friend.

题目大意:

你和你的朋友要玩Nim游戏，游戏规则如下：
1. 地上有一堆石子，你和你的朋友依次可以从中拿走1到3枚;
2. 谁在最后一次将地上的石子拿完就是游戏的胜者;
3. 游戏开始时，你先拿石子;
4. 你们俩都非常聪明，并且都会玩这个游戏的最优策略。
写一个函数来判定你是否可以在游戏中获胜。例如，如果地上有4枚石子，无论你在首次拿走其中的1，2 或者3枚，最后的石子剩下的石子都会被你的朋友一次拿完，也就是说你不可能胜。

题目分析:

Nim游戏是博弈论中最经典的模型，针对本题目中的假设条件，我进行了如下分析：
1. 由于是我先拿石子，所以如果石子是1，2或3枚，那么我必胜;
2. 如果石子的数量n >=4, 那么我第一次是不能拿完的， 我能不能在下一次拿完取决于朋友在拿1， 2，3枚石子之后的情况，如果朋友在拿走1， 2 或者3枚的情况都不能取胜，那么我就能取胜，否则朋友就取胜了，这其实是一个递归。该递归公式如下:
f(n) = true n =1, 2, 3
f(n) = !(f(n-1) && f(n-2) && f(n-3))
3. 根据数学归纳法分析：n = 1 f(n) =true; n = 2 f(n) =true; n = 3 f(n) =true; n = 4 f(n) =false; n = 5 f(n) =true; n = 6 f(n) =true; n = 7 f(n) =true; n = 8 f(n) =false; n = 9 f(n) =true; n = 10 f(n) =true; n = 11 f(n) =true; n = 12 f(n) =false;…
可以得出其实如果n不是4的整数倍，我就会赢。

题解代码：

（1） 递归法:

class Solution {public:    bool canWinNim(int n) {        if ((n == 1) || (n == 2) || (n ==3)) {            return true;        }        if (canWinNim(n - 1) && canWinNim(n - 2) && canWinNim(n - 3)) {            return false;        } else {            return true;        }    }};

这种解法可以解决问题，但是我提交LeetCode时显示超时，耗时比较大，一直想换成循环可能要快些，但是没有想出来代码怎么写。

（2）数学分析结论：

class Solution {public:    bool canWinNim(int n) {        if (n % 4 != 0) {            return true;        } else {            return false;        }    }};