[HNOI2008]明明的烦恼 （Prüfer编码+质因数分解计算两个阶乘的商）

1005: [HNOI2008]明明的烦恼

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 3396  Solved: 1346
[Submit][Status][Discuss]

Description

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

2

HINT

两棵树分别为1-2-3;1-3-2

Source

[Submit][Status][Discuss]
HOME Back

以下为转载：http://www.cnblogs.com/noip/archive/2013/03/10/2952520.html

该题运用到了树的prufer编码的性质：

  (1)树的prufer编码的实现

        不断 删除树中度数为1的最小序号的点，并输出与其相连的节点的序号  直至树中只有两个节点

  (2)通过观察我们可以发现

        任意一棵n节点的树都可唯一的用长度为n-2的prufer编码表示

        度数为m的节点的序号在prufer编码中出现的次数为m-1

  (3)怎样将prufer编码还原为一棵树？？

        从prufer编码的最前端开始扫描节点，设该节点序号为 u ,寻找不在prufer编码的最小序号且没有被标记的节点 v ，连接   u,v,并标记v，将u从prufer编码中删除。扫描下一节点。

  

 

 

 

该题需要将树转化为prufer编码：

 n为树的节点数，d[ ]为各节点的度数，m为无限制度数的节点数。

则            

所以要求在n-2大小的数组中插入tot各序号，共有种插法；

在tot各序号排列中，插第一个节点的方法有种插法；

                           插第二个节点的方法有种插法；

                                      .........

另外还有m各节点无度数限制，所以它们可任意排列在剩余的n-2-tot的空间中，排列方法总数为；

 

根据乘法原理：

 

 

然后就要高精度了.....但高精度除法太麻烦了，显而易见的排列组合一定是整数，所以可以进行质因数分解，再做一下相加减。

 

 

关于n!质因数分解有两种方法，第一种暴力分解，这里着重讲第二种。

  若p为质数，则n!可分解为 一个数*，其中且  <n

 

所以 

 

 

 

暴力分解：

  1 //模仿CLJ大神写的STL,并学会了各种写代码技巧，长见识了！   2 #include<iostream>  3 #include<cstring>  4 #include<string.h>  5 #include<algorithm>  6 #include<cmath>  7 #include<vector>  8 using namespace std;  9  10 int n,nolimit=0,tot=0,ans[10005]={0}; 11  12 vector<int> prime; 13  14 typedef struct{ 15        int h[400]; 16        void Init(){memset(h,0,sizeof(h));} 17         18        void mul(int x){ 19             for(int i=0;i<prime.size();++i) 20             while(x%prime[i]==0) 21             {h[i]++;x/=prime[i];} 22             } 23        void div(int x){ 24             for(int i=0;i<prime.size();++i) 25             while(x%prime[i]==0) 26             {h[i]--;x/=prime[i];} 27             } 28         29        }typenum;typenum sum; 30         31 bool Isprime(int x){ 32      int i; 33      for(i=2;i<=sqrt(x);++i) 34      if(x%i==0) return 0; 35      return 1; 36      } 37  38 void Makeprime(){ 39      for(int i=2;i<=n;++i) 40      if(Isprime(i)) prime.push_back(i); 41      return ; 42      } 43  44 void Init(){ 45      cin>>n; 46      Makeprime(); 47    //  for(int i=0;i<prime.size();++i) 48    //  cout<<prime[i]<<"  ";cout<<endl;  49      sum.Init(); 50    //  for(int i=0;i<400;++i) 51    //  cout<<sum.h[i]<<"  "; 52      int d; 53      for(int i=1;i<=n;++i) 54      { 55        cin>>d; 56         57        for(int i=1;i<d;++i) 58        sum.div(i); 59        if(d==-1)nolimit++;///注意  60        else tot+=d-1;////注意  61              } 62      } 63  64 void Work(){ 65      if(tot>n-2||(tot!=n-2&&nolimit==0)) {cout<<0<<endl;return ;} 66       67      for(int i=1;i<=n-2;++i) 68      sum.mul(i); 69       70      for(int i=1;i<=n-2-tot;++i) 71      sum.div(i); 72       73      for(int i=1;i<=n-2-tot;++i) 74      sum.mul(nolimit); 75       76      ans[0]=1; 77      for(int i=0;i<prime.size();++i) 78      while(sum.h[i]>0) 79      { 80        sum.h[i]--; 81        for(int j=0;j<10000;++j) 82        ans[j]*=prime[i]; 83         84        for(int j=0;j<10000;++j) 85        if(ans[j]>9) 86        {ans[j+1]+=ans[j]/10;ans[j]%=10;} 87                    } 88       89      int i=10000; 90      while(ans[i]==0) i--; 91      while(i>=0) cout<<ans[i--]; 92      cout<<endl; 93      } 94  95 int main() 96 { 97     Init(); 98     Work(); 99   //  Print();100    // system("pause");101     return 0;102     }

 

n!质因数特殊分解：

 1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<string.h> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 #include<fstream> 8 using namespace std; 9 //ifstream cin("cin.in");10  11 int n,m=0,tot=0,fenmu[1005]={0},fenzi[1005]={0},prime[1005]={0};12 int ans[10005]={0};13  14 void Fenjie(int zz,int a[]){15      int sum;16      for(int i=2;i<=zz;++i)17      if(prime[i])18      {19        sum=i;20        while(sum<=zz)21        {a[i]+=zz/sum;sum*=i;}22              }23      return ;24      }25  26 void Buildprime(){27      int i,j;28      for(i=2;i<=1000;++i)29      {30        for(j=2;j<=sqrt(i);++j)31        if(i%j==0) break;     32        if(j>sqrt(i)) prime[i]=1;//,cout<<i<<"  ";33              }//cout<<endl;34      }35  36 int main()37 {38     cin>>n;39      40     Buildprime();41  42     for(int i=1;i<=n;++i)43     {44       int d;45       cin>>d;46       if(d==-1) {m++;continue;}47       if(d>1) Fenjie(d-1,fenmu);48       tot+=d-1;49             }50      51     Fenjie(n-2-tot,fenmu);52     Fenjie(n-2,fenzi);53      54     for(int i=1;i<=1000;++i)55     fenzi[i]-=fenmu[i];56      57     ans[0]=1;58      59     for(int i=1;i<=1000;++i)60     while(fenzi[i]>0)61     {62       fenzi[i]--;63       for(int j=0;j<=10000;++j)64       ans[j]*=i;65       for(int j=0;j<=10000;++j)66       if(ans[j]>9)67       {ans[j+1]+=ans[j]/10;ans[j]%=10;}       68                      }69      70     if(m>0)71     for(int i=1;i<=n-2-tot;++i)72     {73       for(int j=0;j<=10000;++j)74       ans[j]*=m;75       for(int j=0;j<=10000;++j)76       if(ans[j]>9)77       {78         ans[j+1]+=ans[j]/10;79         ans[j]%=10;80               }81             }82      83     if(tot>n-2||(tot<n-2&&m==0)) {cout<<0<<endl;return 0;}84      85     int i=10000;86     while(ans[i]==0) i--;87    // if(i<=0) cout<<ans[0];88     while(i>=0) cout<<ans[i--];89     cout<<endl;90      91    // system("pause");92     return 0;93      94     } 

 

最后还要吐槽一句：八中OJ评测不给力啊，就因为ans数组开小了害我检查了一天的WA。

以下为我自己写的代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define ms(a) memset(a,0,sizeof(a))using namespace std;const int maxn=1e3;const int len=1e4;int prime[maxn];bool flag[maxn];int n,tot,m;int a[maxn],b[maxn],d[maxn];int ans[maxn];void get_prime(){  int i,j;ms(flag),prime[0]=0;  for(i=2;i<maxn;i++)    {      if(!flag[i])prime[++prime[0]]=i;      for(j=1;j<=prime[0] && i*prime[j]<maxn;j++)        {          flag[i*prime[j]]=1;          if(i%prime[j]==0)break;}}}void get_fact(int l,int r){  int x,i,j;  for(x=l;l<=r;x=(++l))    for(i=1;x>1;i++)if(x%prime[i]==0)      {    for(j=0;x%prime[i]==0;x/=prime[i])j++;    b[i]+=j;  }}void resolve(){  int i,j; ms(a),ms(b);  for(i=2;i<=d[0];i++)    {      if(d[i]!=d[i-1])get_fact(d[i-1]+1,d[i]);      for(j=1;j<=prime[0];j++)a[j]+=b[j];}  get_fact(d[d[0]]+1,n-2);  for(j=1;j<=prime[0];j++)a[j]=b[j]-a[j];  ms(b),get_fact(m,m);  for(j=1;j<=prime[0];j++)a[j]+=b[j]*(n-2-tot);}void multi(int x){  int i,last=0;  for(i=1;i<=ans[0];i++)    {      ans[i]=ans[i]*x+last;      last=ans[i]/len,ans[i]%=len;}  if(last)ans[++ans[0]]=last;}int main(){  //freopen("1.in","r",stdin);    int i,j;  get_prime(),scanf("%d",&n);  for(d[0]=tot=0,i=1;i<=n;i++)    {      scanf("%d",&j);      if(j!=-1)tot+=(d[++d[0]]=j-1);}  m=n-d[0],d[++d[0]]=0,d[++d[0]]=n-2-tot;  sort(d+1,d+d[0]+1);  resolve();    ans[0]=1,ans[1]=1;  for(i=1;i<=prime[0];i++)    for(j=1;j<=a[i];j++)      multi(prime[i]);  printf("%d",ans[ans[0]]);  for(i=ans[0]-1;i>=1;i--)    printf("%04d",ans[i]);  return 0;}