0-1背包问题

来源：互联网发布：git管理工具 linux 编辑：程序博客网时间：2024/05/12 04:41

0-1背包问题是动态规划的典型应用

动态规划的基本思想：

将一个问题分解为子问题递归求解，且将中间结果保存以避免重复计算。通常用来求最优解，且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列，下一步总是依赖上一步的结果，自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构，寻找子问题，对问题进行划分。

2. 定义状态。往往将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解（若有k个变量，一般用K维的数组存储各个状态下的解，并可根据这个数组记录打印求解过程。）。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到另一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)

其中步骤1~4是动态规划求解问题的基础，如果题目只要求最优解的值，则步骤5可以省略。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

nameweightvalue12345678910a26066991212151515b23033669991011c65000666661011d54000666661010e460006666666

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

java代码如下：

public class Pack01 {

public int [][] pack(int m,int n,int w[],int p[]){
//c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
int c[][]= new int[n+1][m+1];
for(int i = 0;i<n+1;i++)
c[i][0]=0;
for(int j = 0;j<m+1;j++)
c[0][j]=0;
//
for(int i = 1;i<n+1;i++){
for(int j = 1;j<m+1;j++){
//当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：
//(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
//(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
if(w[i-1]<=j){
if(c[i-1][j]<(c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]))
c[i][j] = c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1];
else
c[i][j] = c[i-1][j];
}else
c[i][j] = c[i-1][j];
}
}
return c;
}
/**
* 逆推法求出最优解
* @param c
* @param w
* @param m
* @param n
* @return
*/
public int[] printPack(int c[][],int w[],int m,int n){

int x[] = new int[n];
//从最后一个状态记录c[n][m]开始逆推
for(int i = n;i>0;i--){
//如果c[i][m]大于c[i-1][m]，说明c[i][m]这个最优值中包含了w[i-1](注意这里是i-1，因为c数组长度是n+1)
if(c[i][m]>c[i-1][m]){
x[i-1] = 1;
m-=w[i-1];
}
}
for(int j = 0;j<n;j++)
System.out.println(x[j]); //输出各物品系数，0表示不放入，1表示放入
return x;
}
public static void main(String args[]){
int m = 10;
int n = 5;
int w[]={2,2,6,5,4}; //每个物品的重量
int p[]={6,3,5,4,6}; //各物品相应的价值
Pack01 pack = new Pack01();
int c[][] = pack.pack(m, n, w, p);
pack.printPack(c, w, m,n);
}
}

0 0