线段树

树状数组可以说是线段树的分支；树状数组可以解决的问题线段树都可以解决，而线段树可以解决的问题树状数组却不一定可以解决；

一 定义

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。线段树需要的空间为数组大小的四倍。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

二 基本结构

线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。

下图就是两棵长度范围为[1,5][1,10]的线段树。

长度范围为[1,L] 的一棵线段树的深度为log (L) + 1。这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L）。

三 基本操作

#include<iostream>#include<algorithm>#define lson l,m,x<<1#define rson m+1,r,x<<1|1using namespace std;#define Size 200010int tree[Size<<2];void MAX(int x){tree[x]=max(tree[x<<1],tree[x<<1|1]);}void build(int l, int r, int x){if(l==r){ 。。 return;  }int m=(l+r)>>1;build(lson);build(rson);}int merage(int l,int r,int x){if(l==r){tree[x]-=wid;         return l;               }int m=(l+r)>>1,ret;if(tree[x<<1]>=wid)ret=merage(lson);elseret=merage(rson);MAX(x);                  return ret;              }int main(){....return 0;}

大牛博客：

http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

• maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2^x的两倍
• lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
• 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
• PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
• PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
• rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

• hdu1166 敌兵布阵
  
• 题意:O(-1)
• 思路:O(-1)
  线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

1. #include<cstring>  
2. #include<iostream>  
3.   
4. #define M 50005  
5. #define lson l,m,rt<<1  
6. #define rson m+1,r,rt<<1|1  
7. /*left,right,root,middle*/  
8.   
9. int sum[M<<2];  
10.   
11. inline void PushPlus(int rt)  
12. {  
13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
14. }  
15.   
16. void Build(int l, int r, int rt)  
17. {  
18.     if(l == r)  
19.     {  
20.         scanf("%d", &sum[rt]);  
21.         return ;  
22.     }  
23.     int m = ( l + r )>>1;  
24.   
25.     Build(lson);  
26.     Build(rson);  
27.     PushPlus(rt);  
28. }  
29.   
30. void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)  
31. {  
32.   
33.     if( l == r )  
34.     {  
35.         sum[rt] += add;  
36.         return ;  
37.     }  
38.     int m = ( l + r ) >> 1;  
39.     if(p <= m)  
40.         Updata(p, add, lson);  
41.     else  
42.         Updata(p, add, rson);  
43.   
44.     PushPlus(rt);  
45. }  
46.   
47. int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)  
48. {  
49.     if( L <= l && r <= R )  
50.     {  
51.         return sum[rt];  
52.     }  
53.     int m = ( l + r ) >> 1;  
54.     int ans=0;  
55.     if(L<=m )  
56.         ans+=Query(L,R,lson);  
57.     if(R>m)  
58.         ans+=Query(L,R,rson);  
59.   
60.     return ans;  
61. }  
62. int main()  
63. {     
64.     int T, n, a, b;  
65.     scanf("%d",&T);  
66.     for( int i = 1; i <= T; ++i )  
67.     {  
68.         printf("Case %d:\n",i);  
69.         scanf("%d",&n);  
70.         Build(1,n,1);  
71.   
72.         char op[10];  
73.   
74.         while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )  
75.         {  
76.   
77.             scanf("%d %d", &a, &b);  
78.             if(op[0] == 'Q')  
79.                 printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));  
80.             else if(op[0] == 'S')  
81.                 Updata(a,-b,1,n,1);  
82.             else  
83.                 Updata(a,b,1,n,1);  
84.   
85.         }  
86.     }  
87.     return 0;  
88. }  

部分为粘贴而来；