编译原理与技术（第四章）语法分析

FIRST集合

构造算法：

对于G中的每一个文法符号X∈VN∪VT，反复应用下列规则求FIRST(X)，到所求的FIRST集不再增大为止。
（1）若X∈VT，则FIRST(X)={X}。
（2）若X∈VN，且有X→aα∈P(a∈VT)，则令a∈FIRST(X)；若有X→ε∈P，则令ε∈FIRST(X)。

终结符，直接推导
（3）若X→Y1Y2…Yk∈P，且Y1∈VN，则令FIRST(Y1)-{ε}FIRST(X)
非终结符
（4）若X→Y1Y2…Yk∈P，对所有的j(1≤j≤i−1)，Yj∈VN，且Yj→ε(∗)，则令FIRST(Yj)-{ε}FIRST(X) (1≤j≤i)
连续的非终结符
(5) （3）（4）中特别当ε∈FIRST(Yj) (1≤j≤k)时，令ε∈FIRST(X)。

解释：

FIRST集合表示的是，由非终结符号能够推导出的所有句子的第一个终结符号。
那么如果A→aB，就直接可以得到结果。
如果是A→BD，我们要继续看B的推导情况，因为A推出的句子首位肯定是B的位置，所以我们必须看B的FIRST集合。
如果B能够推出ε，则A推出的句子可以以D推出的句子开头，那么继而考虑D的情况。
如果A→BCD，BCD都可以推出ε，则A也可以推出ε。

FOLLOW集合

构造：

对于G中的每一A∈VN，为构造FOLLOW（A），可反复使用如下的规则，直到每一个FOLLOW集不再增大为止。
（1）对于文法的开始符号S，令∈FOLLOW(S)。（2）对于每一个A\rightarrow αBβ∈P$，令FIRST(β) -{ε}FOLLOW(B).
（3）对于每一个A→αB∈P或A→αBβ∈P，且ε∈FIRST(β)，则令FOLLOW(A)FOLLOW(B)。

解释：

FOLLOW集合表示的是，由非终结符号能够推导出的所有句子之后（不包含在推导出的句子内）的第一个终结符号。
那么如果A→Bβ，则B推导出的句子后面一定可能跟着β，这β就属于FOLLOW(B)。
如果是A→BC，那么我们想B推导出的句子后面一定可能跟着C的句子，那么C推导出的句子的第一个终结符号（恰好是FIRST(C)里的元素）就属于FOLLOW(B)。
如果有C→ε，也就是ε∈FIRST(C)，则我们可以想到在这个产生中下所有的A推导出的句子中的最后部分（包含在A推导出的句子里）是由B推导出的句子构成，那么A推出的句子后面跟着的终结符必定也跟着B，所以有FOLLOW(A)∈FOLLOW(B)。

LL(1)分析法

定义：

一个文法G是LL（1）的， 当且仅当对于G的每一个非终结符A的任何两个不同产生式 A→α|β，
下面的条件成立：
　　 ① FIRST（α）∩FIRST(β)= ∅
　　 也就是α和β推导不出以某个相同的终结符a为首的符号串；它们不应该都能推出空字ε．
　　 ② 假若β→ε那么，FIRST（α)∩ FOLLOW（A）＝∅
　　 也就是，若β→ε则α所能推出的串的首符号不应在FOLLOW(A)中。

构造：

for(文法G的每个产生式A→α){
  for(每个终结符号a∈FIRST(α))
   把A→α加入到分析表M[A,a]中
  if(ϵ∈FIRST(a))
   for(任何b∈FOLLOW(A))
    把A→α加入到分析表M[A,b]中
}

解释：

LL(1)分析法只往前看一位，算法也相对简单。

分析过程注意一下栈的变化，当进行产生式推导的时候，将产生式倒序压入栈。

闭包

构造：

对于拓广文法G，设I是文法G的一个LR(0)项目集合，closure(I)是从I出发，用下面的方法构造出的项目集合：
（1）I中的每一个项目(即，I的所有产生式)都属于closure(I)；
（2）若项目A→α⋅Bβ属于closure(I)，则将文法G中B的所有产生式，B→⋅η加入到closure(I)内，重复的不算。
（3）直到集合不再扩大。

解释：

⋅符号之后的非终结符产生式全部加入到闭包内，⋅符号位置不同则表示产生式也不同。
这种东西，如果没有要求，直接画DFA会比较好理解。

SLR(1)分析表

构造：

假设已构造出LR(0)项目集规范族为：C={I0,I1,…,In}，其中Ik为项目集的名字，k为状态名，令包含S'→⋅S项目的集合Ik的下标k为分析器的初始状态。
那么分析表的ACTION表和GOTO表构造步骤为：
　　① 若项目A→α·aβ属于Ik且转换函数GO(Ik,a)=Ij（其中go函数可以理解为DFA中对应状态和对应边），当a为终结符时则置ACTION[k,a]为Sj，表示移进。　
　　② 若项目A→α· 属于Ik，则对任何终结符a∈FOLLOW(A)和号置ACTION[k,a]为rj，j为在文法G′中某产生式A→α的序号，表示根据此产生式进行归约。
　　③ 若GO(Ik,A)＝Ij，则置GOTO[k,A]为j，其中A为非终结符，表示状态之间的转移。
　　④ 若项目S′→S·属于Ik，则置ACTION[k,#]为”acc”，表示接受。
　　⑤ 凡不能用上述方法填入的分析表的元素，均应填上”报错标志”。为了表的清晰我们仅用空白表示错误标志。

解释：

上图是SLR(1)分析表的样式。
注意几点：
1、只有当⋅在产生式的最后时（表示产生式完全读取）才可以进行归约。
2、归约的时候，是所有符合条件的action都可以进行归约，如SLR(1)在所有a∈FOLLOW(A)的下面都能进行归约。
3、在用分析表进行分析的时候，进行完归约操作，先将栈顶的句柄全部弹出，然后根据栈顶的状态数与归约完的非终结符进行转移（将归约完的非终结符当做输入串），从而得出新的栈顶状态数。

每次入栈的是输入符号（或者是归约之后的非终结符）+现在所在的状态（DFA中的状态节点）。

LR(1)

构造：

我在网络上找到了一个非常详细的构造过程，如下：

现有文法如下，试构造其LR(1)分析表：
A→A+B
A→a
B→b

要构造 LR 表，我们需要先求出拓广文法：

加入S→A

现在就可以逐步构造 DFA 了。

第一个状态由 S→A 生成。而我们知道，一个 LR(1) 项看起来长这样：[A→α⋅β,t]。其中 t是一个终止符（所谓的 lookahead），而黑点则标志着我们现在的位置（已经看见了 α，正在找β）。
对后面的每一个状态，只要依次考虑以下几点：

• 它从哪里来？
• 它的闭包是什么？
• 它需要归约吗？
• 它需要转移吗？

就能得到正确的结果。这样看起来还是有些抽象，希望下面的演示能帮助理解吧。

State 0

我们从 [S→⋅A,$] 开始，构造这个状态的闭包，也就是加上所有能从这个产生式推出的表项。
首先，我们寻找非终止符前是否有个 ⋅。嗯对了，这个 ⋅ 在A 前面。所以我们就要接着找所有由 A→推出的产生式，并将它们添加进闭包里(这个地方的推导和LR(0)分析表的构造思路一样)。这加上了 [A→⋅A+B,$]和[A→⋅a,$]。
这样够了吗，闭包还可以扩展吗？我们导入了另一个在非终止符前有⋅ 的项。所以下面我们需要再求一次闭包。
这次加入的产生式包括[A→⋅A+B,+]和[A→⋅a,+]。这里的终止符+，是来自于⋅A +B，也就是⋅后面一个元素之后的产生式的FIRST集合。
这次，产生式形如⋅A+，理论上我们也要用另一个项来表达它所引入的产生式，不过实际上这个项就是 [A→⋅A+B,+]，所以不用导入新的项了，集合里面的元素是不能重复的。

现在S0 包含的项有：
[S→⋅A,$]
[A→⋅A+B,$]
[A→⋅a,$]
[A→⋅A+B,+]
[A→⋅a,+]
下一步，就是为这个状态添加转移了。对每个符号 X 后有个⋅的项，都可以从 State 0 过渡到其它状态。看一下这五个，满足条件的是⋅A和 ⋅a 吧？把前者转移的状态定义为 State 1，后者定义为 State 2 吧。

State 1

先要看看 State 1 中出现了哪些项吧。我们从 State 0 通过 A 转移到这里，所以我们找出所有 State 0 中在 A 前有⋅的项，这包括：
[S→⋅A,$]
[A→⋅A+B,$]
[A→⋅A+B,+]
因此，将⋅向后推一格(⋅前面的表示已经读取过的)，就得到了 State 1 的项了：
[S→A⋅,$]
[A→A⋅+B,$]
[A→A⋅+B,+]
现在再来求闭包，由于没有在非终止符前有⋅的项了，所以这就是全部了（耶！）
最后，从 State 1 出发，可以去哪里呢？由于在这个状态的 [S→A⋅,$]项中，⋅已经移动到了产生式尾部，因此我们需要应用S→A规则来进行归约。除此之外，对每个前面有⋅的状态，都有对应转移出去的状态。这里满足要求的就是[A→A⋅+B,+]这个了。这里我们约定+对应转移到 State 3。

State 2

我们是从哪里过来的呢？State 0 中的a。所以我们从所有 State 0 项中a前带有⋅的开始吧。
State 0 的项：
[A→⋅a,$]
[A→⋅a,+]
将⋅后移得到：
[A→a⋅,$]
[A→a⋅,+]
再看看有没有在非终止符前有⋅的项吧。嗯好，没有了，这下不用再求闭包了。下面就是归约了。约定从+ 或 $，归约A→a。现在没有前面具有⋅的其它符号，因此也不需要再继续了。

State 3

如果我们在 State 1 中遇到+，那么就会转移到这个 State 3 上来。我们先找出所有符合要求的 State 1 项吧。
State 1 的项：
[A→A⋅+B,$]
[A→A⋅+B,+]
把 · 后推得到：
[A→A+⋅B,$]
[A→A+⋅B,+]
好的，看到了非终结符前的 · 了吗？我们得求闭包了。先从 [A→A+⋅B, ] 开始，找出所有B → xxx 的产生式（注意lookahead是 $）。这会加入[B → ·b, $]。再对 [A → A + ·B, +] 做同样的操作，加入 [B → ·b, +]。现在由于没有前面有 · 的非终结符，因此闭包就完成了。闭包构造完成后，State3的项有这些：[A → A + ·B, $][A → A + ·B, +][B → ·b, $][B → ·b, +]最后看看从State3能去哪里吧。没有以 · 结束的产生式，也就是不需要归约了。不过 B 和 b 前都有 ·，这也就意味着有两个转移状态。约定 B 转移到State4，b$ 转移到 State 5。

State 4

我们在 State 3 中遇上B时来到这里。列出 State 3 中对应的项：
[A→A+⋅B,$]
[A→A+⋅B,+]
那么对应的 State 4 项就是：
[A→A+B⋅,$]
[A→A+B⋅,+]
嗯，⋅前没有非终结符了，这么说也就不用再求闭包了。不过，别忘了归约啊。可以看到我们需要应用的归约规则就只有A→A+B这一条。由于⋅前没有非终结符，所以这个状态不需要转移。

State 5

我们在 State 3 中遇上b时来到这里。列出 State 3 中对应的项：
[B→⋅b,$]
[B→⋅b,+]
于是得到对应的 State 5 项：
[B→b⋅,$]
[B→b⋅,+]
嗯，这个状态需要归约吗？需要。应用B→b规则即可。最后，它有对应的转移状态吗？· 前没有非终结符，所以也不需要转移。
好了。现在该生成的状态都生成了，DFA 就构造完成了。根据我们的结果，填一下最后的 LR 转移表。

结果：

sN 代表移入，实际上就是移入新符号并进入状态N。
rN代表归约。这里把N与产生式的关系约定如下：

1. S→A
2. A→A+B
3. A→a
4. B→b

goto N 代表转移，也就是转移到状态 N。

这就是LR(1)分析表。
LR(1)的分析过程和LR(0)的分析过程是一样的，就不重复累赘了。

LALR(1)

LALR(1)分析表的基本思想是合并LR(1)项目集规范族中的同心集，以减少分析表的状态数，即，用核代替项目集，以减少项目集所需的存储空间。
因为转移函数GO(I,X)仅仅依赖于状态I的心，因此LR(1)项目集合并后的转移函数可以通过Go(I,X)自身的合并得到。
注意：
同心集的合并，可能导致归约-归约的冲突，但不会产生新的移进-归约冲突。

同心集：

高亮的那两个状态，即I6和I9，去掉终止符之后，他们的核是相同的，因此称他们为同心集。

构造：

求出同心集然后合并即可

这里将I3、I6和I4、I7和I8、I9进行了合并，其余构造方法和LR(1)文法相同。

解释：

参照LR(1)分析程序，就可以类似地写出LALR(1)分析程序的分析过程。

文法分类