数据结构和算法学习（10）- 2-3-4树

之前所提到的树全部都是二叉树，即每个节点有一个数据项，每个节点最多有两个子节点。

有多个数据项和更多子节点的树被称作多叉树，所要学习的2-3-4树就是一种多叉树，他的每个节点最多有四个子节点和三个数据项。

2-3-4树同红黑树一样是平衡树，他的效率稍差，但是编程更加容易

2-3-4树简介

2-3-4树名字中的2、3、4的含义指的是每个节点可能含有的子节点的个数

对于非叶结点有三种情况：

• 有一个数据项的节点总是有两个子节点

• 有两个数据项的节点总是有三个子节点

• 有三个数据项的节点总是有四个子节点

也就是说，非叶结点的子节点数总是比他含有的数据项多1。

在二叉树中，节点最多有两个子节点的连接，而且可以只有一个连接；

而在2-3-4树中，不允许只有一个连接，有一个数据项的节点必须总是保有两个链接，除非他是叶结点，这种情况下可以没有连接

下图说明了2-3-4树中链与数据项关键字值之间的关系

2-3-4树搜索

查找特定关键字的数据项和在二叉树中搜索过程类似，从跟开始，除非查找的关键字就是根，否则选择关键字值所在的核实范围，转向那个方向，直到查到为止

2-3-4树插入

新的数据项总是插在叶结点里，在树的最底层

如果插入到有子节点的节点里，子节点的编号就要发生变化来保证树的结构

2-3-4树中插入节点有时比较简单，有时相当复杂，但是无论哪种情况都是从查找适当的叶结点开始。

如图所示插入数据项18：

涉及节点分裂

如果往下寻找要插入位置的过程中，节点已经满了，插入就变得复杂。

发生这种情况的话，节点就要分裂来保证树的平衡，如下图所示

还有一种更为特殊的情况，即一开始插入式就碰到满的根，如下图所示

2-3-4树和红黑树的转化

通俗来讲三条规则：

• 2-3-4树的2-节点转换为红黑树的黑色节点

• 2-3-4树的3-节点转换成一个子节点和一个父节点，子节点红色，父节点黑色

• 2-3-4树的4-节点转换成一个父节点和两个子节点，子节点红色，父节点黑色

如图

2-3-4树的效率

分析2-3-4树的效率比红黑树要难，所以要从两者的等价性开始分析

红黑树的层数大概是log2(N+1)，所以搜索时间与层数成正比

相同的数据而言，2-3-4树比红黑树的层数要少

2-3-4树每个节点最多可以有4个子节点，如果每个节点都是满的，树的高度应该和log4N成正比，所以在这种情况下2-3-4树的高度大概是红黑树的一半

不过这种情况几乎不可能发生，所以2-3-4树的高度大致在log2(N+1)和log2(N+1)/2之间

但是由于每个节点的数据项也会增加，同样会增加查找时间，所以大致算来2-3-4树中增加的每个节点的数据项数量可以抵偿树的高度的减少，所以2-3-4树中的查找时间与平衡二叉树大致相等，都是O（logN）