拓扑排序详解------转

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假设我们有一组任务要完成，并且有些任务要在其它任务完成之后才能开始，所以我们必须非常小心这些任务的执行顺序。
如果这些任务的执行顺序足够简单的话，我们可以用链表来存储它们，这是一个很好的方案，让我们可以准确知道任务的执行顺序。问题是有时候不同任务之间的关系是非常复杂的，有些任务依赖于两个甚至更多的任务，或者反过来很多任务依赖自己。
因此我们不能通过链表或者树的数据结构来对这个问题建模。对这类问题唯一合理的数据结构就是图。我们需要哪种图呢？很显然，我们需要有向图来描述这种关系，而且是不能循环的有向图，我们称之为有向无环图。要通过拓扑排序对图形进行排序，这些图必须是不能循环和有向的。为什么这些图不能循环呢？答案很明显，如果图形是循环的，我们无法知道哪个任务该优先执行，也不可能对任务进行排序。现在我们一要做的是对图中的每个节点排序，组成一条条边（u，v），u在v之前执行。然后我们就可以得到所有任务的线性顺序，并按这种顺序执行任务就一切都OK了。

例如,下面的图的一个拓扑排序是“5 4 2 3 1 0”。一个图可以有多个拓扑排序。
另一个拓扑排序是“4 5 2 3 1 0”。拓扑排序的第一个顶点总是入度为0。

方法一
现在我们可以得到这个算法的基本步骤：

11.构造空列表 L和S；

22.把所有没有依赖节点(入度为0)的节点放入L；

33.当L还有节点的时候，执行下面步骤：

43.1     L中拿出一个节点ｎ（从L中remove掉），并放入S

53.2         对每一个邻近n的节点m，

63.2.1           去掉边（n,m）;（表示加入最终结果集S）

73.2.2           如果m没有依赖节点（入度为零），把m放入L;

核心就是：每次都选取入度为0的节点，再更新其相邻的节点的入度 。

这个是相对比较直观的算法，也是常见的一种算法。我们用一个数组degree[]记录所有顶点的入度。删除点时更新该数组。
参考下面代码函数：topologicalSort1()

方法二
另外一种方法是参考DFS，对图的深度优先遍历做些修改。我们确信在有向图中如果存在一条边（u，v），那么顶点u会先于顶点v进入列表中。因此在深度遍历时，用栈来存储遍历的顺序。参考下面代码的函数：topologicalSort2()

C++实现

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001// C++实现的拓扑排序算法

002#include<iostream>

003#include <list>

004#include <stack>

005using namespace std;

006 

007// 图类

008class Graph

009{

010    int V;    //顶点个数

011 

012    // 邻接表

013    list<int> *adj;

014    // 拓扑排序方法 2的辅助函数

015    void topologicalSortRecall(int v, bool visited[], stack<int> &Stack);

016 

017public:

018    Graph(int V);

019 

020     // 添加边

021    void addEdge(int v, int w);

022 

023    //拓扑排序普通方法

024    void topologicalSort1();

025 

026    // 拓扑排序方法二

027    void topologicalSort2();

028};

029 

030Graph::Graph(int V)

031{

032    this->V = V;

033    adj = new list<int>[V];

034}

035 

036void Graph::addEdge(int v, int w)

037{

038    adj[v].push_back(w); //

039}

040 

041//类似深度优先遍历，将和V相邻的顶点（且为访问过的）放入栈中

042void Graph::topologicalSortRecall(int v, bool visited[], stack<int> &stk)

043{

044    //标记v为访问过的

045    visited[v] = true;

046 

047    // 对每个顶点进行递归调用

048    list<int>::iterator i;

049    for (i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i)

050        if (!visited[*i])

051            topologicalSortRecall(*i, visited, stk);

052 

053    // 保存顶点

054    stk.push(v);

055}

056 

057// 方法二，使用递归调用实现拓扑排序

058void Graph::topologicalSort2()

059{

060    stack<int> stk;

061    bool *visited = new bool[V];

062    for (int i = 0; i < V; i++)

063        visited[i] = false;

064 

065    //每个顶点都调用一次

066    for (int i = 0; i < V; i++)

067      if (visited[i] == false)

068        topologicalSortRecall(i, visited, stk);

069 

070    // 打印

071    while (stk.empty() == false)

072    {

073        cout << stk.top() << " ";

074        stk.pop();

075    }

076}

077 

078// 方法一

079void Graph::topologicalSort1()

080{

081    list<int>::iterator j;

082    int degree[V];

083    //遍历所有的边，计算入度

084    for(int i=0; i<V; i++){

085        degree[i] = 0;

086        for (j = adj[i].begin(); j != adj[i].end(); ++j){

087            degree[*j]++;

088        }

089    }

090    list<int> zeroNodes;//所有入度为0的点

091    list<int> result;//所有入度为0的点

092    for(int i=0; i<V; i++){

093        if(degree[i] == 0){

094            zeroNodes.push_back(i);

095        }

096    }

097    while(zeroNodes.size() > 0){

098        int top = zeroNodes.back();

099        zeroNodes.pop_back();

100        result.push_back(top);

101        for (j = adj[top].begin(); j != adj[top].end(); ++j){

102            degree[*j]--;//删除和top相邻的边，并更新其它顶点的入度

103            if(degree[*j] == 0) zeroNodes.push_back(*j);

104        }

105    }

106 

107    //打印结果

108    for(j= result.begin(); j != result.end(); j++)

109        cout << (*j) << " ";

110}

111 

112int main()

113{

114    // 创建文中所以的图

115    Graph g(6);

116    g.addEdge(5, 2);

117    g.addEdge(5, 0);

118    g.addEdge(4, 0);

119    g.addEdge(4, 1);

120    g.addEdge(2, 3);

121    g.addEdge(3, 1);

122 

123    cout << "Following is a Topological Sort of the given graph using  topologicalSort1\n";

124    g.topologicalSort1();

125    cout << endl;

126    cout << "Following is a Topological Sort of the given graph using  topologicalSort2\n";

127    g.topologicalSort2();

128    return 0;

129}