三阶贝塞尔曲线拟合1/4圆

来源：互联网发布：js给div设置id 编辑：程序博客网时间：2024/05/16 06:38

贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。

贝塞尔曲线于1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau演算法开发，以稳定数值的方法求出贝兹曲线。(感谢百度百科)

三阶贝塞尔曲线拟合1/4圆

根据贝塞尔曲线的知识，我们知道三阶贝塞尔曲线的参数方程如下，其中A、B、C、D为四个控制点坐标，P(t)表示曲线上的每一点。

因为要模拟1/4圆，所以通过P(0)和P(1)的切线方向，应该按照下图所示位置安放。

其中AB为水平方向，DC为垂直方向，并且线段长度|AB| = |DC| = h。

那么这个问题实际上，就转换为计算出合理的h值，使得半径|OJ| = 1，也即J点刚好在圆弧上。

根据贝塞尔曲线的对称性，不难想出J点在P(0.5)处，代入公式即可求得：

同样的结论，也可以直接由贝塞尔曲线的几何图形特征来推定，也即：

所以也可以再次确认P(0.5)和J是同一点。

代入四个控制点坐标A(0, 1)，B(h, 1)，C(1, h)和D(1, 0)，可以求解P(0.5)点坐标如下：

根据圆形方程定义，可以拟出下面方程：

从而求解出h的值为：

所以，可以最终求解出三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆的参数方程P(t)定义如下：

另一方面，该方程描述的曲线与真实1/4圆有多大差异呢？下面就针对这个问题进行数值求解。

采用t = 0.0到1.0，步进值0.01，求解每个点到原点的距离与半径1的差异。

[cpp] view plaincopy
#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
  
double bezier3(double a, double b, double c, double d, double t)  
{  
    double nt = 1.0 - t;  
    double nt2 = nt * nt;  
    double nt3 = nt * nt * nt;  
    double t2 = t * t;  
    double t3 = t * t * t;  
  
    return (a * nt3 + b * 3.0 * nt2 * t + c * 3.0 * nt * t2 + d * t3);  
}  
  
int main()  
{  
        double t, a;  
        double d, e;  
        double max_e = 0.0, min_e = 1.0;  
  
        double x, y;  
        double h = (sqrt(2) - 1.0) * 4.0 / 3.0;  
        for(t = 0.0; t < 1.01; t+=0.01)  
        {  
                x = bezier3(0, h, 1, 1, t);  
                y = bezier3(1, 1, h, 0, t);  
                d = sqrt(x * x + y * y);  
                e = d - 1.0;  
  
                a = atan2(y, x);  
                a = a * 180.0 / 3.1415926;  
  
                if(max_e < e) max_e = e;  
                if(min_e > e) min_e = e;  
                printf("%4.1f, %f\n", a, e);  
        }  
        printf("max_e = %f, min_e = %f\n", max_e, min_e);  
    return 0;  
}  

输出结果如下：

[cpp] view plaincopy
0, 0.000000  
1, 0.000003  
1, 0.000010  
2, 0.000022  
2, 0.000037  
3, 0.000054  
4, 0.000073  
4, 0.000092  
5, 0.000113  
6, 0.000133  
7, 0.000153  
7, 0.000172  
8, 0.000190  
9, 0.000206  
0, 0.000221  
1, 0.000234  
2, 0.000246  
3, 0.000255  
4, 0.000263  
5, 0.000268  
6, 0.000271  
7, 0.000273  
8, 0.000272  
9, 0.000269  
0, 0.000265  
1, 0.000259  
2, 0.000251  
3, 0.000242  
4, 0.000232  
5, 0.000220  
6, 0.000208  
8, 0.000194  
9, 0.000181  
0, 0.000166  
1, 0.000152  
2, 0.000137  
3, 0.000123  
5, 0.000108  
6, 0.000094  
7, 0.000081  
8, 0.000068  
9, 0.000056  
0, 0.000045  
2, 0.000035  
3, 0.000026  
4, 0.000018  
5, 0.000012  
6, 0.000007  
8, 0.000003  
9, 0.000001  
0, 0.000000  
1, 0.000001  
2, 0.000003  
4, 0.000007  
5, 0.000012  
6, 0.000018  
7, 0.000026  
8, 0.000035  
0, 0.000045  
1, 0.000056  
2, 0.000068  
3, 0.000081  
4, 0.000094  
5, 0.000108  
7, 0.000123  
8, 0.000137  
9, 0.000152  
0, 0.000166  
1, 0.000181  
2, 0.000194  
4, 0.000208  
5, 0.000220  
6, 0.000232  
7, 0.000242  
8, 0.000251  
9, 0.000259  
0, 0.000265  
1, 0.000269  
2, 0.000272  
3, 0.000273  
4, 0.000271  
5, 0.000268  
6, 0.000263  
7, 0.000255  
8, 0.000246  
9, 0.000234  
0, 0.000221  
1, 0.000206  
2, 0.000190  
3, 0.000172  
 9.3, 0.000153  
 8.4, 0.000133  
 7.5, 0.000113  
 6.6, 0.000092  
 5.6, 0.000073  
 4.7, 0.000054  
 3.8, 0.000037  
 2.8, 0.000022  
 1.9, 0.000010  
 0.9, 0.000003  
-0.0, 0.000000  
max_e = 0.000273, min_e = 0.000000  

从输出结果分析可以看到，误差均为向着圆弧外凸，0度到45度一段，45度到90度一段。

在0度、45度和90度为最小误差0.000000，在19.3度和70.7度达到最大误差为0.000273，基本上非常接近1/4圆弧了。

以上，即为三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆弧的全部内容。

感谢Grapher和GeoGebra软件，使得方便排版文章中使用的公式和曲线。

（感谢原创作者）

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