青蛙跳台阶

问题

1）一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

2）一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

 

分析思路（1）

1）当n=1时，只有一种跳法；

2）当n=2时，有两种跳法；

3）当n=3时，有3种跳法

由数学归纳法可得如下递推公式：

 

分析思路(2)：

用Fib(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，青蛙一次性跳上n阶台阶的跳法数1(n阶跳)，设定Fib(0) =1；

      当n= 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) =1;

      当n= 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2)= Fib(1) + Fib(0) = 2;

      当n= 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(3-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有Fib(3-3)中跳法

       Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;

      当n= n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法..........................第一次跳出n阶后, 后面还有                 Fib(n-n)中跳法.

      Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)

     又因为Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)

     两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)è Fib(n) = 2*Fib(n-1)     n >= 2

     递归等式如下：

代码实现：

#include <iostream>using namespace std;int Fib1(int n){if(n <= 0){cout<<"error!"<<endl;return -1;}if(1 == n)return 1;else if(2 == n )return 2;elsereturn Fib1(n-1) + Fib1(n-2);}int Fib2(int n){if(n < 0){cout<<"error!"<<endl;return -1;}if(0 == n)return 1;else if(1 == n )return 1;elsereturn 2*Fib2(n-1);}int main(){  int n;cin>>n;cout<<"共有跳法: "<<Fib1(n)<<endl;cout<<"共有跳法: "<<Fib2(n)<<endl;return 0;}