12-5和12-6考试总结

day1:
第一题：求∑i=1ngcd(i,n)，我推到了gcd(x,a)=b求a的个数这一步。哪知把b移过来就成了gcd(x/b,a/b)=1就是欧拉函数了。张千帆还提醒我写过，我暑假写polya的时候（就是项链那种题目）曾经用过这结论，现在又忘记了QAQ
第二题：给出平面上N个点，要你求一条路径从一号点到N号点，然后回来，要求每个点只经过一次，且每次只能往前（后）走，而且告诉你两个去和回必须分别经过的点，求最短路。这种一来一回的题可以转化成两个同时从1号出发，记得联赛集训的时候有一道青蛙跳荷叶的题很相似。设F[i][j]表示到i点和j点的最短路,且1到max(i,j)的点都被走过了，每次转移至max(i,j)+1即可。以后dp方程貌似有BUG的时候可以考虑限制转移条件。
第三题：求一个图，删除一条边后变成一个二分图，输出所有的删法。把图的生成树搞出来，然后对于两点颜色相同的边统计个数，这里只讲个数大于1的情况；我们考虑每个端点颜色相同的非树边，那么我们删的边必须在这些非树边在生成树上的交集上（画画图便知道），但是这样可能会把端点颜色不同的边搞出一个奇环来，所以还要考虑一个奇环树边与偶环树边在生成树上的一段交集，如果删除这个集合里面的任意一条边，就会把两个环破坏掉，但会形成一个新的奇环，所以这些交集里的边是不能删的，树链剖分打标记即可。
day2:
第一题是一个构造题，首先把所有人的糖调到基准线下一点点，这样糖是一定会有剩余的，贪心即可。遇到带绝对值的最优策略构造问题时一定要考虑这种方法。
第二题是给出一颗生成树，要你把这颗树补成一个完全图，且给出的那个生成树是唯一最小生成树，求这个完全图的最小权值和。我们知道如果要添加一条非树边的话，这条边必须比树上对应路径任意一条边都大，所以就有了平方的暴力。仔细考虑，我们找到树上最大的边w，那么树被分成了两个子树，设左边个数为a，右边为b，那么左边往右边连边的权值必然为w+1，连（a*b-1）条边，然后递归搞左右子树即可。这样好像还是很慢的，我们反着干，把边从小到大排序，用并查集化删为加。
第三题给你一个有向图，在它上放k个标记，要求每个点都能到一个标记，且每个点都能被一个标记到达。发掘这题的特殊性质，先缩点，发现出度和入度为0的点必须放标记，放完之后，不光满足了这几个点，整个图也被满足了。容易看出这是整个图满足条件的充要条件了，剩下的标记随便放，排列组合暴力递推即可。要多发现题目的性质啊！