如何运送最多的货物(0-1背包)

题目：某快递每天能收到成千上万的物流单，每个物流单的重量不一。 一位货车司机开着货车（限载5吨，含5吨，不考虑限高）,想要一次性拿走尽可能重的货物。

以下是货物清单：
货物编号 货物重量(单位:kg)
1. ————-509
2. ————-838
3. ————-924
4. ————-650
5. ————-604
6. ————-793
7. ————-564
8. ————-651
9. ————-697
10. ————649
11. ————747
12. ————787
13. ————701
14. ————605
15. ————644

输出运送最接近5000kg时的货物单号。

01背包

话说有一哥们去森林里玩发现了一堆宝石，他数了数，一共有n个。 但他身上能装宝石的就只有一个背包，背包的容量为C。这哥们把n个宝石排成一排并编上号： 0,1,2,…,n-1。第i个宝石对应的体积和价值分别为V[i]和W[i] 。排好后这哥们开始思考： 背包总共也就只能装下体积为C的东西，那我要装下哪些宝石才能让我获得最大的利益呢？

OK，如果是你，你会怎么做？你斩钉截铁的说：动态规划啊！恭喜你，答对了。 那么让我们来看看，动态规划中最最最重要的两个概念： 状态和状态转移方程在这个问题中分别是什么。

我们要怎样去定义状态呢？这个状态总不能是凭空想象或是从天上掉下来的吧。 为了方便说明，让我们先实例化上面的问题。一般遇到n，你就果断地给n赋予一个很小的数， 比如n=3。然后设背包容量C=10，三个宝石的体积为5，4，3，对应的价值为20，10，12。 对于这个例子，我想智商大于0的人都知道正解应该是把体积为5和3的宝石装到背包里， 此时对应的价值是20+12=32。接下来，我们把第三个宝石拿走， 同时背包容量减去第三个宝石的体积（因为它是装入背包的宝石之一）， 于是问题的各参数变为：n=2，C=7，体积｛5，4｝，价值｛20，10｝。好了， 现在这个问题的解是什么？我想智商等于0的也解得出了：把体积为5的宝石放入背包 （然后剩下体积2，装不下第二个宝石，只能眼睁睁看着它溜走），此时价值为20。 这样一来，我们发现，n=3时，放入背包的是0号和2号宝石；当n=2时， 我们放入的是0号宝石。这并不是一个偶然，没错， 这就是传说中的“全局最优解包含局部最优解”（n=2是n=3情况的一个局部子问题）。 绕了那么大的圈子，你可能要问，这都哪跟哪啊？说好的状态呢？说好的状态转移方程呢？ 别急，它们已经呼之欲出了。

我们再把上面的例子理一下。当n=2时，我们要求的是前2个宝石， 装到体积为7的背包里能达到的最大价值；当n=3时，我们要求的是前3个宝石， 装到体积为10的背包里能达到的最大价值。有没有发现它们其实是一个句式！OK， 让我们形式化地表示一下它们， 定义d(i,j)为前i个宝石装到剩余体积为j的背包里能达到的最大价值。 那么上面两句话即为：d(2, 7)和d(3, 10)。这样看着真是爽多了， 而这两个看着很爽的符号就是我们要找的状态了。 即状态d(i,j)表示前i个宝石装到剩余体积为j的背包里能达到的最大价值。 上面那么多的文字，用一句话概括就是：根据子问题定义状态！你找到子问题， 状态也就浮出水面了。而我们最终要求解的最大价值即为d(n, C)：前n个宝石 （0,1,2…,n-1）装入剩余容量为C的背包中的最大价值。状态好不容易找到了， 状态转移方程呢？顾名思义，状态转移方程就是描述状态是怎么转移的方程（好废话！）。 那么回到例子，d(2, 7)和d(3, 10)是怎么转移的？来，我们来说说2号宝石 （记住宝石编号是从0开始的）。从d(2, 7)到d(3, 10)就隔了这个2号宝石。 它有两种情况，装或者不装入背包。如果装入，在面对前2个宝石时， 背包就只剩下体积7来装它们，而相应的要加上2号宝石的价值12， d(3, 10)=d(2, 10-3)+12=d(2, 7)+12；如果不装入，体积仍为10，价值自然不变了， d(3, 10)=d(2, 10)。记住，d(3, 10)表示的是前3个宝石装入到剩余体积为10 的背包里能达到的最大价值，既然是最大价值，就有d(3, 10)=max{ d(2, 10), d(2, 7)+12 }。好了，这条方程描述了状态d(i, j)的一些关系， 没错，它就是状态转移方程了。把它形式化一下：d(i, j)=max{ d(i-1, j), d(i-1,j-V[i-1]) + W[i-1] }。注意讨论前i个宝石装入背包的时候， 其实是在考查第i-1个宝石装不装入背包（因为宝石是从0开始编号的）。至此， 状态和状态转移方程都已经有了。接下来，直接上代码。

for(int i=0; i<=n; ++i){    for(int j=0; j<=C; ++j){        d[i][j] = i==0 ? 0 : d[i-1][j];        if(i>0 && j>=V[i-1])  d[i][j] >?= d[i-1][j-V[i-1]]+W[i-1];    } }

i=0时，d(i, j)为什么为0呢？因为前0个宝石装入背包就是没东西装入，所以最大价值为0。 if语句里，j>=V[i-1]说明只有当背包剩余体积j大于等于i-1号宝石的体积时， 我才考虑把它装进来的情况，不然d[i][j]就直接等于d[i-1][j]。i>0不用说了吧， 前0个宝石装入背包的情况是边界，直接等于0，只有i>0才有必要讨论， 我是装呢还是不装呢。(完)

自己的实现(java):

public class Knapsack01 {    public int maxValue(int N,int C,ArrayList<Goods> goods){        int[][] d=new int[N+1][C+1];//状态d(i,j)表示前i个宝石装到剩余体积为j的背包里能达到的最大价值        //两种状态 1)不选择goods[i];2)选择goods[i],则d[i][j]=max{goods[i].value+d[i-1][j-goods[i].weight],d[i-1][j]}        int i=1,j=1;        for(i=1;i<=N;i++){            for(j=1;j<=C;j++){                if(goods.get(i).weight<=j){                    d[i][j]=Math.max(goods.get(i).value+d[i-1][j-goods.get(i).weight],d[i-1][j]);                }                else                     d[i][j]=d[i-1][j];            }        }        //打印选择的Item        int rest_space=C;        for(int m=N;m>=1;m--){            if(rest_space>=goods.get(m).weight){                if(d[m][rest_space]-d[m-1][rest_space-goods.get(m).weight]==goods.get(m).value){                    System.out.print(m+"-");                    rest_space=rest_space-goods.get(m).weight;                }            }        }        return d[N][C];    }    public ArrayList<Goods> initial(int a[]){        ArrayList<Goods> goods=new ArrayList<>();        goods.add(new Goods(0,0));        for(int i=0;i<a.length;i++)            goods.add(new Goods(a[i], a[i]));        return goods;    }    public static void main(String[] args) {        Knapsack01 ks=new Knapsack01();        int N=15,C=5000;        int a[]={509,838,924,650,604,793,564,651,697,649,747,787,701,605,644};        ArrayList<Goods> goods=ks.initial(a);        int maxValue=ks.maxValue(N, C, goods);        System.out.println(maxValue);    }    private static class Goods{        private int value;        private int weight;        public Goods(int value,int weight) {            this.value=value;            this.weight=weight;        }    }}

参考资料：http://www.hawstein.com/posts/dp-knapsack.html