算法基础（1）

设f和g是定义域为自然数集N上的函数。

1）若存在正数c和n0使得对一切n >= n0  有0 <= f（n）<=cg(n) 成立，则称f(n)的渐进的上界是g(n),记作f(n) = O(g(n)).

2）若存在正数c和n0使得对一切n >= n0  有0 <= cg(n)<=f(n)  成立，则称f(n)的渐进的下界是g(n),记作f(n) = Ω(g(n)).

3）若存在正数c和n0使得对一切n >= n0  有0 <= f（n）<cg(n) 成立，记作f(n) = o(g(n)).

4）若存在正数c和n0使得对一切n >= n0  有0 <= cg(n)<=f(n)  成立，记作f(n) = w(g(n)).

5）f(n) = O(g(n)), f(n) = Ω(g(n)) 则记作  f(n) = Θ(g(n)).

c是一个与n无关的常数。1)和3）中记号分别叫“大O记号”和“小o记号“  他们区别在于f(n) = O(g(n))时，f(n)的阶可能低于g（n）也可能等于g（n）。f(n) = o(g(n))时，f（n）的阶只能低于g（n）因此f(n) = o(g(n))可以推出f(n) = O(g(n))。

定理

1）n ->∞时  f(n)/g(n)存在，并且等于某个常熟c>0,那么f(n) = Θ(g(n)).

2） n ->∞时  f(n)/g(n) = 0， 那么f(n) = o(g(n))

3）  n ->∞时  f(n)/g(n) = ∞， f(n) = w(g(n)).

以下是各种函数的时间复杂度由高到低的排列（√为根号）：

    n!,  2^2n  ,  n2^n,  (logn )^logn = n ^ loglogn,  n^3,  nlogn = Θlog(n!),   n = Θ(log10^n), 2^log√n,  2^√(2logn) ,  loglogn