回溯法解01背包问题(C语言版)

问题描述：

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

以下是测试数据截图,背包容量:10

/*test.h*/#include<stdio.h>//-------------宏定义------------#define OK 0//-----------变量声明--------------int x[100],bestx[100];int cv = 0,cw = 0,mw = 0,mv = 0;int c,n;int weight[100];int value[100];//-------------函数声明------------int Output();int Input();void Init();bool place(int t);void Track(int t);

/*test.cpp*/#include"test.h"void Init(){int i;for(i = 0;i<100;i++){x[i] = 0;bestx[i] = 0;weight[i] = 0;value[i] = 0;}}int Input(){int i;printf("请输入背包的容量:");scanf("%d",&c);printf("请依次输入物品的重量:");for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",(weight+i));printf("请依次输入物品的价值:");for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",(value+i));return OK;}int Output(){printf("选择的物品是:");for(int m = 0;m<n;m++)printf("%d  ",bestx[m]);printf("\nmax value is :%d\n",mv);return OK;}bool place(int t){if(cw+weight[t] > c)return false;return true;}//---------回溯法解01背包问题-----------------void Track(int t){int m;if(t>=n){//outputif(cv>mv){mv=cv;for(m = 0;m<n;m++)bestx[m] = x[m];}}else{for(m = 0;m<=1;m++){x[t] = m;if(x[t] == 0){Track(t+1);x[t] = 0;}else if(place(t) && x[t]==1){cv = cv + value[t];cw = cw + weight[t];Track(t+1);x[t] = 0;cv = cv - value[t];cw = cw - weight[t];}}}}void main(){Init();printf("请输入物品的数量:");scanf("%d",&n);Input();Track(0);Output();}