字符串匹配算法-KMP

KMP算法是一种高效的字符串匹配算法，显然OI有用，但是网上和书上（AKA算导）讲的总是看不懂，KZ相信是因为KZ个人能力不够，但是通过老师的讲解理解后，在这里尝试用一种更好理解的方式讲解KMP算法。同时，KZ将描述一种个人认为更适合OI的实现方法。

KMP原理

最暴力的字符串匹配算法无非是依次比对文本串T和模式串P，失配的话把P向后移动一格，如下图。

上述算法把时间浪费在了反复前一部分已经匹配了的字符上，而KMP算法则正是优化了这一点，从而更有效率。

如下图：

上图：串A1 == A2 == A'1 == A'2 , b == b'

当匹配上述两个串时，前面全部匹配，直到c与d失配。若不仅将P向右滑动一格，而是更多：

显然此时省去了比较A1与A'1的时间，这就是KMP算法高效的关键所在。

KMP通过适当的滑动，使得P的最长前缀(A1)，与T中 已经匹配成功的串 的最长后缀(A'2)相匹配，因为这一部分已经与P中失配位(d)前面的部分相匹配(A'2 == A2)，所以KMP仅通过对P的预处理，即可得出失配时滑动的方案。

预处理时间为O(|P|)，匹配时间为O(|T|)。

滑动方案计算

KMP的原理很好理解，唯一稍有思维难度的是对于滑动方案的计算，这里使用next[]的方法来解决。

此方法以及别的实现方法原理相同，仅在细节上有所区别（如数组下标从哪个开始用），KZ认为next[]方法最便于理解和书写（AKA适合OI）。

next[j]表示当在P[j]失配时，指针j跳转到next[j]，如下图。

即P[next[j]]以前的串(A1)(P的最长前缀)，与P[j]以前的串的最长后缀(A2)相等(A1 == A2)。

接下来讨论具体的计算方式：

首先明确，next[n+1]由next[n->0]推出。

当P[n] == P[next[n]]时，如下图：

显然根据next[]的定义，存在A1 == A2，此时又有b1 == b2，则A1+b1 == A2+b2，两个子串相等，所以next[n+1] = next[n]+1。

即P[next[n]+1]以前的串(A1+b2)(P的最长前缀)，与P[n+1]以前的串的最长后缀(A2+b2)相等(A1+b1 == A2+b2)。

注意，之所以next[n]+1，是为了满足“以前的串”这个要求。

那么当P[n] != P[next[n]]时，

诶？存在P[n] != P[next[n]]的情况吗？是存在的！

因为next[]的定义，使得相等的串在P[n]与P[next[n]]的前面，所以这两者不一定相等，况且在“当P[n] == P[next[n]]时”处理的时候，并没有判断P[next[n]+1]于P[n+1]是否相等。如果没看懂，或许可以在看完全文之后回过来看KZ到底说了什么。

总之，当P[n] != P[next[n]]时，如下图：

A1+b已经无法与A2+d匹配，而A2又不是合法的后缀，所以KZ拆开A1，A2来看看：

因为A1 == A2，所以存在E1 == E3，f1 == f2，E2 == E4，

同时由next[]的定义，存在E1 == E2，所以得到E1 == E4。

如图：

这样看起来就和之前的情况相似了，事实上是的，反回去判断P[next[next[n]]]与P[n]是否相等即可，重复上述过程。

如此往复一直到找到相等的，或者跑到了P[0]，那么此时的next[n+1]就只能是0，可理解为两个空串相等了。

样例代码

滑动方案计算：

void kmpNext(char P[], int Psize, int next[]) {int k, i;k=-1; i=0; next[0]=-1;//初始化，-1表示跳到头部while(j<Psize-1) {//此时计算的是next[j+1]if (k<0||W[j]==W[k])//k<0说明跳到了头部next[++j]=++k;//总能保证下次计算next[j+1]时，k==next[j]elsek=nt[k];}}

匹配：

int kmpMatch(char T[], int Tsize, char P[], int Psize, int next[]) {int i=0, j=0;while (i<Tsize && j<Psize)if (j<0||T[i]==P[j]) {//仅有next[0]==-1i++;j++;}elsej=next[j];//失配时跳向nextif (j>=Psize)return i-Psize+1;//返回第一个匹配的头部下标elsereturn -1;//匹配失败}

总结

KMP的重点在于从已匹配部分得到可以优化下一次的信息，通过减少重复匹配的方式来高效。

如有不当，谢大神指正

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