【浙江集训】wander

题目描述

给出一棵包含n个点的森林。问按照以下规则行走，从u走到v的期望步数是多少。

行走的伪代码如下：

count = 0bool DFS( x, fa )    if ( x==v ) return 1    random_shuffle(e[x])    for each y in e[x]   // which means that all the order of has the same possibility to be chosen        ++count        if ( DFS( y, x ) ) return 1    ++count    return -1DFS( u, -1 )

要求实现Q个操作，包括以下三种

• 在x与y之间修建一条道路，若此前x与y之间有路径相连则无视此次操作
• 若x与y之间存在一条直接相连的道路，则去掉之
• 询问从u走到v的期望步数

n≤105,Q≤2×105

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分析

首先分析一下要求的期望步数是个什么东西。
读懂伪代码后发现它实际上是一个按照随机顺序遍历这棵树，直到遇到终点。
假如我们某一步走了岔路，那么显然要遍历完这条岔路对应的整一棵子树。那么在每一个点上我们只关注终点所在子树，以及它之前遍历的有哪一些子树。
不妨记E(x)表示从x走到v的期望，当前所在的点为x，遍历的顺序为p0,p2,⋯,pm，终点所在子树的根是y，排在第k位，sizex¯¯¯¯¯¯¯¯表示除通往y的那棵子树，其它子树大小的平均数，于是

E(x)=∑mk=0(∑P,pk=y∑k−1i=0sizepi+E(pk)+1)(m+1)!=∑mk=0∑P,pk=y∑k−1i=02sizepi(m+1)!+E(y)+1
E(v)=0

从总体来看，E(y)+1这一项在E(u)中总共就恰好是u到v的路径长度。

注意这一项

∑mk=0∑P,pk=y∑k−1i=02sizepi(m+1)!=∑mk=0∑P,pk=y∑k−1i=02sizepim!m+1=∑mk=0∑k−1i=02sizepik!∑pk+1⋯pm1(m−k)!m+1=∑mk=0∑k−1i=02sizepik!m+1

由于这里取遍所有的满足pk为通往终点的点的可能的顺序，观察一下

• 当k=0时，分子为0
• 当k=1时，分子为2sizex¯¯¯¯¯¯¯¯
• 当k=2时，分子为4sizex¯¯¯¯¯¯¯¯
• ⋯
• 当k=m时，分子为2msizex¯¯¯¯¯¯¯¯

于是这一项实际上是

m(m+1)sizex¯¯¯¯¯¯m+1=∑z≠ysizez

总的那一项，实际上就是以u为根的树，减去v为根的子树大小。

所以我们需要维护的东西就很明确了

• 子树大小
• 连通性
• 支持动态加或删边

用LCT可以轻松解决后两个问题。
但是LCT怎么维护子树大小呢？
不妨记linkx表示当前形态的这棵树x代表的重链，最高的一个点的子树大小（注意这里要是指包括它本身和splay树的儿子所形成的一段重链）。extrax表示x的所有虚边连出的点它们的子树大小和。那么

• 在access时，有可能将一个虚儿子变成重儿子，此时需要对extra和link做出一些调整
• 在splay时需要对extra做出一些调整
• 加边时需要对extra做出一些调整
• 删边时需要对link做出一些调整

剩下任意的操作都不会对extra和link造成影响。
于是子树大小求出来了，剩下的就是LCT的常规维护了。

时间复杂度O(nlogn)
空间复杂度O(n)