毕设第五周（阅读论文：The optimal sequenced route query）

问题引入

Optimal Sequenced Route(OSR) query是Nearest Neighbor的一个特殊类型，是说，从一个source出发，要经过依次经过给定类型的点，最后到达目的地，求最短路径。

对应到现实生活，比如，有一天你从家出发，事先的路径规划是依次经过购物中心，饭店，最后到电影院。如果沿途经过哪家购物中心、哪家饭店、哪家电影院对你来说并不重要，你只是想找到最短的总路程，那么，这就是一个OSR问题。

数学符号可以很清晰的表现这个过程。
首先，我们有一个目的地p，Ui(1≤i≤n)代表沿途的各种类型的点集，M代表事先给定的Sequence，M的展开式写做(M1,M2,M3,...,Mm), 每一个Mi代表刚刚提到的点集的标号。事实是，我们依次经过的点集为(UM1,UM2,UM3,...,UMm)，每两点间的距离定义为D(.,.)，沿途选择的点，定义为Pi(1≤i≤m)。
最后目标函数为

L(p,R)=D(p,P1)+∑i=1r−1D(Pi,Pi+1)

Paper中展示了解决OSR的几种算法，分别是：

• 基于Dijkstra的算法，以及Enhanced Dijkstra’s algorithm(EDJ)
• 向量空间里的Light optimal route discoverer(LORD)算法
• 向量空间里的R-tree-based LORD算法
• 矩阵空间里的progressive neighbor exploration(PNE)算法

下面将分别阐述这几种算法。
Paper中的每个算法都用到了剪枝来进行优化，用贪心法求得的路径是一个不错的剪枝标准，先记做Rg(p,M)

基于Dijkstra的算法，以及Enhanced Dijkstra’s algorithm(EDJ)

这种算法的核心思想是利用Dijkstra来求最短路径，为了能用上Dijkstra，首先需要构造有向图。有向图的构造过程十分简单：p点连UM1中的点，UM1中的每个点，连UM2中的每个点，以此类推。

这种算法有两个弊端，首先，总的边数

|E|=|UM1|+∑i=1m−1|UMi|×|UMi+1|

需要的存储量太大。

再者，经典Dijkstra的算法复杂度为O(|E|log|V|)，在OSR中，因为目的地有UMm个，因此，算法复杂度为O(|UMm||E|log|V|)

不过这种算法还有优化的空间，注意到一个事实，任何到p的距离大于Rg(p,M)的点，都不可能在最短路径上，因此在构造有向图的时候，可以忽略这些点。这就是EDJ。

向量空间里的Light optimal route discoverer(LORD)算法

LORD算法从点集UMm出发，维护一组partial sequenced routes，这些routes采用倒序的形式进行更新，即从UMm出发，不断向后扩展，直到达到起始点p。
有两个剪枝指标，Tv和Tc，其中Tv是一个变量，在算法的迭代过程中不断更新，Tc是一个常量，代表贪心算法求得的路径长度。
在介绍算法之前，首先引入一条定理，
定理一：如果Q(p,M)=(P1,...,Pi,Pi+1,...,Pm)那么对于任何点Pi和M′=(Mi+1,...,Mm)来说，Q(Pi,M′)=(Pi+1,...,Pm)定理的证明很显然，利用的是最短路径的最优子结构性质，参考Dijkstra的证明过程即可。

由这条定理可以知道，如果我们想求从p出发的最优有序路径，我们可以依次求出从p到Um中每一个点的最短路径，然后从中取一条最小的作为最终结果。事实是，这就是迭代的第一步。虽然在迭代的初始状态时，我们并不知道哪一条路径最短，不过这问题不大——把不可能的路径剪掉，剩下的都保留就好了。
假设第一次迭代以后，我们得到了若干partial routes的集合，记为S，在迭代的第二步，我们考察Um−1中的每个点，首先用某个Threshold Tv筛选掉那些不可能的点。之后让通过筛选的每个点，为了方便起见，记做q，与S中的每个路径进行拼接，拼接之后的结果再用另一个ThresholdTc进行筛选。这样我们就得到了从q出发到点集Um的一系列候选路径S′′，由定理一，如果q在Q(p,M)上，那么，最短路径中，从q出发的到Um的那部分，也一定是最优的，因此，我们对于Um−1中每个点p我们只需要保留S′′中最短的那一条路径即可。将这些路径集合起来，就是第二次迭代的结果——延伸后的S。
第三次迭代。。。
第四次迭代。。。
。。。
第m次迭代。。。
以此类推，可以得到问题的解。
Paper中给的算法伪代码如下：

向量空间里的R-tree-based LORD算法

R-tree在这里用来进一步剪枝。注意到在LORD算法中，每次迭代需要对UMi中的点进行筛选，筛选的标准分别是Tv和Tc，也就是说，只有在一定范围内的点才会被选择出来。Paper中展示了如何基于R-tree用single range来进行点的选择。

首先，筛选条件D(p,q)≤Tv(记为Range(Q1))确定的范围是一个圆，筛选条件D(p,q)+D(q,P1)+L(R)≤Tc确定的范围是一个椭圆，而每次迭代中需要依次对S中的partial sequenced route进行扩展，因此得出的query范围是一个一个椭圆的并(Union)，记做Range(Q2)。
用简单的数学计算可以推出Range(Q2)⊆Range(Q1)，我们只要选择Q2中的点即可。

下面说如何在算法中利用R-tree：
对于R-tree的一般应用，原理很简单——在R-tree上用一个广度优先搜索即可，在本篇Paper中，用法相似：
首先需要说明的是，因为Range(Q2)确定的范围是椭圆的并，并不是很容易确定是否与R-tree中的node intersect，所以Paper中采用了MBR(Q2)作为判断标准，不过因为MBR(Q2)不一定在Range(Q1)中，所以还需要用到Range(Q1)。
在每次迭代中，首先检测R-tree中的node是否与Range(Q1)相交，如果相交，则判断是否与MBR(Q2)相交，如果仍然相交，该node进入广搜中的队列，否则剪枝。

矩阵空间里的progressive neighbor exploration(PNE)算法

在矩阵空间中，因为两点间的距离不再是欧氏距离，求两点间的最短路径的开销要变大，上述几种算法并不适用，为此Paper中提出了PNE算法。

首先算法用到了两个工具函数：

• NN(point p, dataset Ui)， 用来查找Ui中距离点p最近的那个点
• NextNN(point p, point n, dataset Ui)，用来查找Ui中除了点n之外，满足D(p,q)≥D(n,p)条件且距离点p最近的那个点。

PNE中解的构造是一个正向过程，即从起始点p出发，最终到达UMm。PNE算法与Dijkstra的核心思想类似，都是从源点出发，不断向外扩展。和LORD类似，算法的具体实现中，也是不断构造partial sequenced routes，然后扩展。
算法伪代码如下：

算法的精妙之处在于维护了一个最小堆，堆中的每个元素都是已经探索到的partial sequenced route，键值是route的长度；每次迭代都弹出堆顶元素PSR，并对PSR进行判断，只要PSR中的点数小于m，则说明还没有搜索到结果，需要继续搜索，在这次迭代的搜索中，只需要考察两种扩展方案（假设PSR中最后一个点是Pk）：

• 搜索Uk+1中距离Pk最近的点。搜到以后扩展路径，并加入堆中
• 把Pk从PSR中去掉，然后在PSR尾部添加NextNN(Pk−1, Pk, UMk)，产生新的PSR′并将其加入堆中

之后进行下一次迭代。直到堆顶元素PSR中的点数等于m
算法的正确性的证明由数学归纳法给出（只需证明所有可能的最短路径都被检测到了），对partial candidate routes的size n 进行归纳，n等于1的时候显然成立，假设PNE能够检测所有size为n的partial candidate routes，设有一个partial candidate route R′=(P1,...,Pn+1)（Pn+1为Un+1中距离Pn第k近的点），它之前的R′′=(P1,...Pn)，由归纳假设，肯定能被检测到。一旦R′′到达堆顶，那么(P_1,…,P_n,P’)就会被加入堆中（P′为Un+1中距离Pn最近的点），之后的迭代会对可能产生partial candidate routes的，Un+1中距离Pn第二近，第三近。。。第k近的点依次进行检测。

从而由归纳法知，所有长度的partial candidate routes都会被检测到。

算法复杂度分析

之后用到的话再详细分析。