Formal sys-Pradicate semantic

介绍个定义

Interpretation 
已知有∑ 是一阶谓词逻辑(PL1)的Signatur
那么我们定义这个Signatur的interpretation 为(D,I)，并且具有以下性质：
1.D是任意的非空的集合
2.I是Signatur符号的映射：
1).对任意常数c有:I(c) ∈ D
2).n>=1,对于有n个参数的函数符号f有:I(f):Dn→D
3).对于任意不含有参数的谓词符号 P有:I(P) ∈ {T,F}
4).n>=1,对于任意的含有n个参数的谓词符号p存在对应的一个n阶关系I(p) ⊆Dn
断言(Variablenbelegung)β
β:Var →D.
已知有x∈Var d∈D,那么使x取d值的断言为：

βdx(y){dβ(y)falls y=xfalls y≠x

//已知x取d值，那么关于变量y的断言是：如果x=y，那么结果就是d，而如果x不等于y，那么关于y的断言还是未知，用β(y)表示

评价Formel(Auswertungsfunktion):

已知(D,I)是∑的Interpretation，β是关于D的断言。那么我们定义一个评价函数ValD,I,β，并且他满足以下属性：
valD,I,β(t)∈D 当t∈Term∑
valD,I,β(A)∈{T,F} 当A∈For∑
valD,I,β(x)=β(x)其中x∈Var
valD,I,β(f(t1,...,tn))=(I(f))(valD,I,β(t1),...,valD,I,β(tn))
1.
valD,I,β(1)=T
valD,I,β(0)=F

valD,I,β(s≐t):={TF当valD,I,β(s)=valD,I,β(t)其他

valD,I,β(P):=I(P) 其中P不包含参数的谓词符号

valD,I,β(p(t1,...,tn)):={TF当(valD,I,β(t1),...,valD,I,β(tn))∈I(p)其他

//有点问号？？？
2.valD,I,β(X)其中X∈{¬A,A∧B,A∨B,A→B,A↔B}的情况和表达逻辑的相同
3.

valD,I,β(∀xA):={TF当对于所有的d∈D有valD,I,βdx(A)=T其他

4.

valD,I,β(∃xA):={TF当存在一个d∈D满足valD,I,βdx(A)=T其他

等价定理
已知有是一个Interpretation，β,γ是两个变量断言(Variablenbelegung),那么就有：
1.已知β(x)=γ(x)其中x∈Var(t),t为Term,可以推出：val,β(t)=val,γ(t)
2.已知针对Formel A有β(x)=γ(x)其中x∈Frei(A),那么可以推出val,β(A)=val,β(A)
3.如果A∈For∑是封闭的，那么就有val,β(A)=val,γ(A)

算数结构(Arithmetic structure)

Signatur ∑arith={0,1,*,+,<}
在这里要认识两种结构，一种是普通的数学整数结构，在这里就跳了，另一种是Java的整数结构(就是有溢出的那种)他表示如下：
Jint=(ℤ,∗,+,<)
ℤJint:=[int_MIN,int_MAX]=[−232,232−1]
n+m:=int_MIN+(int_HALFRANGE+(n+m))%int_RANGE
n*m:=int_MIN+(int_HALFRANGE+(n*m))%int_RANGE
其中：int_HALFRANGE=231 int_RANGE=232
⇒
int_MAX+1=int_MIN
int_MIN+(-1)=int_MAX
比较ℤ和ℤJint

Formel∅∀x∃y(x<y)∀x∀y((x+1)∗y)=x∗y+y)∃x(0<x∧x+1<0)⊨∅yesyesno⊨∅noyesyes

Term的替换原则(Substitutionslemma)

已知∑是一个Signatur，是对∑的一个Interpretation，β,β′是两个断言，σ是一个替换，那么就有：
val,β(σ(t))=val,β′(t)
其中对于所有的变量x∈Var有：
β′(x)=val,β(σ(x))
//也就是说β′(x)=β(σ(x))吗
证明：略//呵呵呵呵呵呵呵呵呵呵呵？？？？
//另外上述原则同时适用于不含冲突的替换证明同略？？？

Hoare 赋值规则

Hoare是一个三元式,分别为前置条件、操作、后置条件，其赋值规则表达如下：
{{x/s}A} x:=s {A}
可以这么理解，如果前置条件为真，那么进行赋值操作(就是替换了，把x替换为s)，那么得到的相应的结果也为真。
由上述规则可以推出：
已知∑是一个Signatur，是针对∑的一个Interpretation，β是一个断言，σ是一个无冲突的替换其中对于所有的不等于x的变量y满足σ(y)=y。那么就有：
val,β(∀xA→σ(A))=W
val,β(σ(A)→∃xA)=W
证明看不懂

Model

以下有关仅用于不含有自由变量的Formel。
我们说针对一个∑的Interpretation是一个关于不含有自由变量的Formel A的Model，当val(A)=T.
对Formel集合的Model的定义与此类似：要求集合中的每一个Formel B都满足val=T.

推出⊨

已知有：M∈For∑,A∈For∑并且两者都不含有自由变量，那么有：
M⊨∑A:⇔M中的每一个Model，同时也是A的Model:⇔M∪{¬A}没有Model
我们就说由M可以推出M或者A跟随M(Aus M folgt A)
一些简化表达：
用⊨代替⊨∑
用⊨A代替∅⊨A
用B⊨A代替{B}⊨A

普遍成立

A∈For∑是：
普遍成立的(allgemeingültig)当且仅当 ⊨A
可实现的(erfüllbar)当且仅当 ¬A不是普遍成立的
1.下面的说法是等价的：
1).A 是普遍成立的
2).A的每一个Interpretation都是Model
3).对于所有的有val(A)=T
2.下面说法也是等价的：
1).A是可实现的
2).存在满足val(A)=W
一些普遍成立的Formel
$$
1.\lnot \forall xA \leftrightarrow \exists x \lnot A \
2.\lnot \exists xA \leftrightarrow \forall x \lnot A \
3.\forall x \forall y A \leftrightarrow \forall y \forall x A \
4.\exists x \exists y A \leftrightarrow \exists y \exists x A \
5.\forall x(A \land B) \leftrightarrow \forall A \land \forall B \
6.\exists x(A \lor B) \leftrightarrow \exists x A \lor \exists x B \

$$