离散傅里叶变换的推导

西方有术傅里叶

                                             ----离散傅里叶变换的推导(1)

首先让我们忘记严密的数学，忘记DFT，定性地思考一些东西。

DFT中涉及的一个就是相关，其实就是看两个信号的相似程度。越相似，相关系数就越大。 如果没有用过相关，那一定用过加权平均，我们的成绩有时是会被加权平均的，数学英语权值大，不重要的科目权值小，这样平均来显示自己的实力是有些不公平，因为里面体现着老师对科目的偏好和重视，如果你的科目成绩分布恰巧和老师这个偏好和重视一致（相似），你的分数就高，这和相关其实是一个概念，只不过加权平均是归一化的，而相关可以归一化也可以不归一化。

其实DFT就是一个相关的过程，就是拿你的信号和不同频率的正弦余弦信号相关的过程。想想我们刚才说的相关和加权平均的概念，就不难理解了，不同频率的正余弦信号，就是老师心里的砝码（哪个科目重要，哪个科目不重要），你的信号就是你的成绩，需要放到老师提供的尺度下去衡量，越一致越相似你的分数就越高，只不过DFT比较公平，他考虑所有不同老师的标准，而不是一个。每个老师都有一个频率（即老师的标准），你得按照每个老师的标准去计算一遍，才能知道你在该老师标准下的成绩（即相关系数）。把每个老师的标准当成横坐标，把该标准下的成绩当成纵坐标，组成的图就是你信号的频谱了。

 

具体点就是，如上图所示，因为你成绩单上的课程不仅多，排列还毫无规律，为了能将你快速并顺利划分到合适的专业，需要对你的专业能力进行评定，所以将你成绩丢进各个系老师的标准中进行评定，评定结果表示，你在CS专业上能力突出，在文学领域还有待加强，为此马上可以得出将你划分入CS系中的概率比较大了。

 

既然已经文字化描述了下傅里叶变换的过程了，往下开始数学化点了。

 

先对刚刚提到的相关这个概念重新理解一下，理解傅里叶变换文中已经对信号相关性进行了详细了描述，现将其引动到这来。

信号的相关性(correlation)可以从噪声背景中检测出已知的信号，我们也可以利用这个方法检测信号波中是否含有某个频率的信号波：把一个待检测信号波乘以另一个信号波，得到一个新的信号波，再把这个新的信号波所有的点进行相加，从相加的结果就可以判断出这两个信号的相似程度。如下图：

上面a和 b两个图是待检测信号波，图a很明显可以看出是个3个周期的正弦信号波，图b的信号波则看不出是否含有正弦或余弦信号，图c和d都是个3个周期的正弦信号波，图e和f分别是a、b两图跟c、d两图相乘后的结果，图e所有点的平均值是0.5，说明信号a含有振幅为1的正弦信号c，但图f所有点的平均值是0，则说明信号b不含有信号d。这个就是通过信号相关性来检测是否含有某个信号的方法。

先引用到这，到这边应该有个问题，为什么所有点的平均值是0.5时，便说明信号a含有振幅为1的正弦信号c ？

 

首先我们知道傅里叶级数的公式为：

           

这里面表示的就是形状曲线了，跟则是该曲线在每个频率上的振幅，乘以则是用来指定正余弦波的频率，这里，表示的是基频，所以频率大小还是靠决定的，当然就是周期函数的周期了。

形象点说吧，就是你的成绩单，杂乱无章，于是将其分析整理，用来表示整理之后的专业划分，比如是CS专业还是EE专业，跟则是你在这个专业上的能力大小。

 

那为什么会有跟两个值呢，频谱图上不应是每个频率上对应一个振幅的？

因为这函数是表现在实值领域的，如果换到复数领域上，计算的就是复数幅值，也就是两数平方和再开根号。

 

形象理解了几个参数之后，应该还有一个，或者周期怎么理解？

在封闭的形状曲线上，该曲线可看成是周期函数，也就是沿着边缘绕一圈就回到原点的函数，绕的时间为。又对于形状曲线，我们一般是得到它的采样点，如果有个采样点，则可得采样周期，也就是第一个采样点在时间上，第个采样点在时间上，则，所以上面的傅里叶公式在离散点集上可表示为：

           

显然，傅里叶变换的两个基本函数为正余弦函数，并且这两函数的频率由来决定。如为2，表示在0到长度中存在两个完整正余弦周期，即频率为2，因为对原曲线来说，个点代表原曲线的一个周期。

并且，对于个采样点的一条曲线，频率的最大取值（后续附上该讨论），所以定义这样一条曲线，我们最多只需考虑个分量。故展开式可重新定义为：

          

等式（3）跟理解离散傅里叶变换文中的合成等式:

          

其实没多大差别，因为它将等于0和的情况都特别处理，而等式（3）只是特别处理了等于0的情况，所以增加了个。

 

对于等式（3），基本知道的数据有，，采样所得，每个采样点有个值；，采样点的总数。

故该计算跟。

废话一堆，最重要的却还没推导，歇会，待续…