《算法导论》实验七：区间树上的重叠区间查找算法（C++）——控制台树型显示

一、题目描述

区间树（interval tree）是一种对动态集合进行维护的扩张红黑树，因此可在实验二红黑树的基础上进行扩张。为此，本实验（实验三）在实验二的基础上对红黑树的节点增加新的附加信息，并设计新的操作。从而熟悉并实现区间树上的重叠区间查找算法，分析该算法的性能。
具体问题测试用例：尝试构造一个区间树。可依次插入下列区间：[41,49] [38,44] [31,35] [12,20] [19,25] [8,10]
查找重叠区间：“find [37,40]”、“find[9,30]”、“find [26,29]”

二、算法分析与设计

（一）基本概念：
区间：一个事件占用的时间；
闭区间：实数的有序对[low,high]，使low≤high
区间的对象表示：[low,high]可以用对象interval表示，有两个属性：
low[interval]=t1 //起点或低点；
high[interval]=t2 //终点或高点。
区间的重叠：interval∩interval’≠∅⇔(low[interval]≤high[interval’]) and (low[interval’]≤high[interval])

（二）数据结构：本质上是将红黑树扩充，方法如下：
Step 1：基本结构：
以红黑树为基础，对∀x∈T，x包含区间interval[x]的信息(低点和高点)，key=low[interval [x]]。
Step 2：附加信息：
max[x]=max(high[interval [x]], max[left[x]], max[right[x]])
Step 3：维护附加信息(有效性)：
在新节点的插入时进行Step2的计算，此外要注意在左旋和右旋时也要对max值进行维护，这是与基本红黑树的左右旋很大不同的地方。
Step 4：开发新操作：查找与给定区间重叠的区间节点x。

（三）查找算法IntervalSearch(T, i)基本思想：
step 1：x ←root[T]； //从根开始查找
step 2：若x≠nil[T]且i与int[x]不重叠
if x的左子树非空且左子树中最大高点≥low[i] then
x ←left[x]；//到x的左子树中继续查找
else
x ←right[x]；//左子树必查不到，到右子树查
step 3：返回x //x=nil or i和x重叠
由于区间树是红黑树的简单扩重，因此区间树相关操作的实现如左旋、右旋、插入，插入调整等与红黑树基本相同，这些在实验二有详细的描述，此处就不再赘述。但要在左旋和右旋的操作中维护max域的取值。

（四）查找具有最小低端点的重叠区间算法IntervalSearchMin()的基本思想：
采用递归思想，递归先从左子树找；递归到整个树的最左端，从第一个区间开始匹配，如果x与interval重叠，就不需要往下找了；若左子树找不到，则在右子树上找。

三、实验结果与分析

（一）首先，初始化区间树，依次插入下列区间：[41,49] [38,44] [31,35] [12,20] [19,25] [8,10]，在树状显示的代码中稍作修改，再在控制台中树形显示区间树，如下图-1所示：

图-1 初始化区间树并树形显示

（二）情况一：查找重叠区间[37,40]：“find [37,40]”
输出结果：最先找到的重叠区间和具有最小低端点的重叠区间相同，均为[38,44]。如下图-2所示：

图-2 查找重叠区间[37,40]：“find [37,40]”

（三）情况二：查找重叠区间[9,30]：“find [9,30]”
输出结果：因为此时存在多个重叠区间，所以最先找到的重叠区间和具有最小低端点的重叠区间不同，最先找到的重叠区间为[19,25]；具有最小低端点的重叠区间为[8,10]。如下图-3所示：

图-3 查找重叠区间[9,30]：“find [9,30]”

（四）情况三：查找重叠区间[26,29]：“find [26,29]”
输出结果：因为没有与区间[26,29]重叠的区间，所以显示“Output：无重叠区间”。如下图-4所示：

图-4 查找重叠区间[26,29]：“find [26,29]”

四、实验总结

1、区间树是红黑树的扩张，大部分操作跟红黑树相同或相似，但在对附加信息max进行维护时，左旋和右旋的过程中要对max单独进行更新维护。
2、通过测试证明查找算法是正确有效的。
3、用递归的思想可实现查找具有最小低端点的重叠区间。
4、对于任意一个具有n个结点的区间树，我们最多需要循环logn+2次，（即从根节点查找到叶子结点），每次循环都是常数时间，故在最坏情况下时间复杂度为O(log n)。在一个比较差的搜索中，假设每次我们寻找的区间都是叶子结点，在这个情况下的时间复杂度为Ω(log n)。所以区间树上的重叠区间查找算法的时间复杂度为Ɵ(log n)。

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五、源代码（C++）

/* 区间树（interval tree）是一种对动态集合进行维护的扩张红黑树，因此可在实验二红黑树的基础上进行扩张。*/  #include <iostream>#include <deque>#include <iomanip>#include <sstream>#define SENTINEL -100000    //哨兵，作为nil结点的key，方便树状输出时临界点判断using namespace std;enum Color{RED=0,BLACK=1};  //定义枚举类型，即红黑树结点颜色类型，0表示红色，1表示黑色typedef struct Interval     //定义一个表示区间范围的结构体{    int low;                //区间的低端点（low endpoint）    int high;               //区间的高端点（high endpoint）}Interval;typedef struct Node        //声明红黑树结点{    Color color;           //红黑树结点的颜色类型,    struct Node *parent;   //父节点    struct Node *left;     //左孩子    struct Node *right;    //右孩子    Interval interval;     //区间    int max;               //附加信息，记录以该节点为根的子树中所有区间端点的最大值}Node;typedef struct RBTree      //定义一个红黑树{    Node *root;            //根节点    Node *nil;             //哨兵结点,避免讨论结点的边界情况}RBTree;//选择显示void Display()             {    cout<<"************************************************************************\n";    cout<<"****           请选择您要的红黑树操作！！                           ****\n";    cout<<"****   I：插入区间    D：区间树当前状态   S：查找区间    E：退出    ****\n";    cout<<"****   Insert         Display             Search         Exit       ****\n";    cout<<"************************************************************************\n";}//求三个参数中的最大值int GetMax(int high,int leftMax,int rightMax)     {    int temp=(leftMax>rightMax)?leftMax:rightMax;    return (high>temp)?high:temp;}//左旋，结点x原来的右子树y旋转成x的父母void LeftRotate(RBTree * rbTree,Node *x){    if(x->right!=rbTree->nil)    {        Node *y=x->right;        x->right=y->left;        if(y->left!=rbTree->nil)        {            y->left->parent=x;        }        y->parent=x->parent;        if(x->parent==rbTree->nil)    //空树，将y设为根        {            rbTree->root=y;        }        else if(x==x->parent->left)   //x为左子树，将y放在x父节点的左子树        {            x->parent->left=y;        }        else        {            x->parent->right=y;        }        y->left=x;        x->parent=y;        //以下为区间树与红黑树左旋调整的差异，即要调整结点max的大小,        //且必须先计算x的max，在计算y的max        x->max=GetMax(x->interval.high,x->left->max,x->right->max);        y->max=GetMax(y->interval.high,y->left->max,y->right->max);    }    else    {        cout<<"Error: can't left rotate,because no rigth child!"<<endl;    }}//右旋，结点x原来的左子树y旋转成x的父母void RightRotate(RBTree * rbTree,Node *x){    if(x->left!=rbTree->nil)    {        Node *y=x->left;        x->left=y->right;        if(y->right!=rbTree->nil)        {            y->right->parent=x;        }        y->parent=x->parent;        if(x->parent==rbTree->nil)           {            rbTree->root=y;        }        else if(x==x->parent->left)          {            x->parent->left=y;        }        else        {            x->parent->right=y;        }        y->right=x;        x->parent=y;        //以下为区间树与红黑树左旋调整的差异，即要调整结点max的大小        //且必须先计算x的max，在计算y的max        x->max=GetMax(x->interval.high,x->left->max,x->right->max);        y->max=GetMax(y->interval.high,y->left->max,y->right->max);    }    else    {        cout<<"Error: can't right rotate,because no left child!"<<endl;    }}//插入结点void RBInsert(RBTree *rbTree,Interval interval){    void RBInsertFixUp(RBTree *rbTree,Node *z);     if(rbTree->root==NULL)    {//当根为空时，单独处理，直接插入到根结点中        rbTree->root=new Node;        rbTree->nil=new Node;        rbTree->root->left=rbTree->nil;        rbTree->root->right=rbTree->nil;        rbTree->root->parent=rbTree->nil;        rbTree->root->interval.low=interval.low;      //设置区间低端点        rbTree->root->interval.high=interval.high;    //设置区间高端点        rbTree->root->max=interval.high;      //初始根的max设为自己的high        rbTree->root->color=BLACK;            //根节点color设为黑        rbTree->nil->parent=rbTree->root;        rbTree->nil->left=rbTree->root;        rbTree->nil->right=rbTree->root;        rbTree->nil->interval.low=rbTree->nil->interval.high=SENTINEL;  //将nil的区间设为哨兵        rbTree->nil->color=BLACK;     //nil结color也设为黑        rbTree->root->max=0;          //nil节点的max设为0，便于其他节点max的维护    }    else    {//如果树不为空，那么从根节点开始，从上往下查找插入点        Node *y=rbTree->nil;     //y用于当前扫描结点x的父节点        Node *x=rbTree->root;    //从根节点开始扫描        while(x!=rbTree->nil)    //查找插入位置,以低端点为排序键值        {            if(interval.low==x->interval.low)            {                cout<<"键值重复，请输入不同的键值！！"<<endl;                return;            }            y=x;            x=interval.low<x->interval.low ? x->left : x->right;          }        Node *z=new Node;       //new一个Node结点空间        z->color=RED;           //新插入的color设为红色        z->interval.low=interval.low;        z->interval.high=interval.high;        z->left=z->right=rbTree->nil;        z->max=GetMax(interval.high,z->left->max,z->right->max);        z->parent=y;        if(interval.low<y->interval.low)            y->left=z;        else            y->right=z;        RBInsertFixUp(rbTree,z);   //插入后对树进行调整    }}//插入后调整树，以维持红黑树的5条性质void RBInsertFixUp(RBTree *rbTree,Node *z)   {    Node *y;      //用于记录z的叔叔结点    while(z->parent->color==RED)   //因为插入的结点是红色的，所以只可能违背性质4,即假如父结点也是红色的，要做调整     {        if(z->parent->parent->left==z->parent)  //如果要插入的结点z是其父结点的左子树        {            y=z->parent->parent->right;         // y设置为z的叔父结点            if(y->color==RED)                   //case 1: y的颜色为红色            {                z->parent->parent->color=RED;                y->color=BLACK;                z->parent->color=BLACK;                z=z->parent->parent;            }            else            {                if(z==z->parent->right)    //case 2: y的颜色为黑色，并且z是z的父母的右结点，则z左旋转                {                    z=z->parent;                    LeftRotate(rbTree,z);                }                z->parent->parent->color=RED;     //case 3: 如果y的颜色为黑色，并且z是z的父母的左结点                z->parent->color=BLACK;                RightRotate(rbTree,z->parent->parent);            }        }        else    //与前一种情况对称，要插入的结点z是其父结点的右子树,注释略去         {            y=z->parent->parent->left;            if(y->color==RED)            {                z->parent->parent->color=RED;                y->color=BLACK;                z->parent->color=BLACK;                z=z->parent->parent;            }            else            {                if(z->parent->left==z)                {                    z=z->parent;                    RightRotate(rbTree,z);                }                z->parent->parent->color=RED;                z->parent->color=BLACK;                LeftRotate(rbTree,z->parent->parent);            }        }    }    rbTree->root->color=BLACK;   //最后如果上升为rbTree的根的话，把根的颜色设为黑色}//查找与给定区间重叠的区间Node* IntervalSearch(RBTree * rbTree,Interval interval){    Node *x=rbTree->root;    //从根开始查找    while(x!=rbTree->nil&&!(interval.low<=x->interval.high&&interval.high>=x->interval.low))    {//若x不等于nil节点且x与interval不重叠，则进行判断        if(x->left!=rbTree->nil&&x->left->max>=interval.low)            x=x->left;       //到x的左子树中继续查找        else            x=x->right;      //左子树必查不到，到右子树查    }    return x;    //x=nil或者x与interval重叠}//递归在z的左右子树中查找与interval重叠的具有最小低端点的区间Node* IntervalSearchMin(RBTree* rbTree,Node* z,Interval interval)  {      Node *x = z, *y;        //先从左子树上找      if(x->left && x->left->max >= interval.low)      {          y = IntervalSearchMin(rbTree,x->left, interval);          if(y != rbTree->nil)              return y;      }      //如果x与i相交，就不需要找左子树了      if(interval.low<=x->interval.high&&interval.high>=x->interval.low)          return x;      //最后在右子树上找      if(x->right)          return IntervalSearchMin(rbTree,x->right, interval);      //如果找不到，返回nil    return rbTree->nil;     }  //求树高int MaxHeight(Node * root,Node *nil){    if(root==nil)return 0;    int leftHeight=MaxHeight(root->left,nil);    int rightHeight=MaxHeight(root->right,nil);    return (leftHeight>rightHeight)?leftHeight+1:rightHeight+1;}// convert an integer value to stringstring IntToString(int val) {  ostringstream ss;  ss << val;  return ss.str();}// Print the arm branches (eg, /    \ ) on a linevoid PrintBranches(int branchLen, int nodeSpaceLen, int startLen, int nodesInThisLevel, const deque<Node*>& nodesQueue) {  deque<Node*>::const_iterator iter = nodesQueue.begin();  for (int i = 0; i < nodesInThisLevel / 2; i++)   {    cout << ((i == 0) ? setw(startLen-1) : setw(nodeSpaceLen-2)) << "" << ((*iter&&(*iter)->interval.low!=SENTINEL) ? "/" : " ");    *iter++;    cout << setw(2*(branchLen+1)+7) << "" << ((*iter&&(*iter)->interval.low!=SENTINEL) ? "\\" : " ");    //setw(2*branchLen+4)改为setw(2*branchLen+5)    *iter++;  }  cout << endl;}// Print the branches and node (eg, ___10___ )void PrintNodes(int branchLen, int nodeSpaceLen, int startLen, int nodesInThisLevel, const deque<Node*>& nodesQueue){  deque<Node*>::const_iterator iter = nodesQueue.begin();  for (int i = 0; i < nodesInThisLevel; i++, iter++)  {    cout << ((i == 0) ? setw(startLen) : setw(nodeSpaceLen)) << "" << ((*iter && (*iter)->interval.low!=SENTINEL && (*iter)->left->interval.low!=SENTINEL ) ? setfill('_') : setfill(' '));    if(*iter&&(*iter)->interval.low!=SENTINEL)    {        cout<<setw(branchLen+2)<<"["<<IntToString((*iter)->interval.low)<<","<<IntToString((*iter)->interval.high)<<"]";        //cout<<(((*iter)->color==RED) ? "红":"黑");    }    else    {        cout << setw(branchLen+1)<<"";        //cout << setw(branchLen+2)<<"";    }    cout << ((*iter && (*iter)->interval.low!=SENTINEL && (*iter)->right->interval.low!=SENTINEL ) ? setfill('_') : setfill(' ')) << setw(branchLen+1) << "" << setfill(' ');    //setw(branchLen)改为setw(branchLen+1)  }  cout << endl;}//在控制台树形输出红黑树void PrintPretty(RBTree * tree, int level, int indentSpace) {    int h = MaxHeight(tree->root,tree->nil);    int nodesInThisLevel = 1;    int branchLen = 2*((int)pow(2.0,h)-1) - (3-level)*(int)pow(2.0,h-1);      int nodeSpaceLen = 5 + (level+1)*(int)pow(2.0,h);      int startLen = branchLen + (3-level) + indentSpace;     deque<Node*> nodesQueue;    nodesQueue.push_back(tree->root);    for (int r = 1; r <= h; r++) {        PrintBranches(branchLen, nodeSpaceLen, startLen, nodesInThisLevel, nodesQueue);        branchLen = branchLen/2 - 1;        nodeSpaceLen = nodeSpaceLen/2 + 1;        startLen = branchLen + (3-level) + indentSpace;        PrintNodes(branchLen, nodeSpaceLen, startLen, nodesInThisLevel, nodesQueue);        for (int i = 0; i < nodesInThisLevel; i++) {            Node *currNode = nodesQueue.front();            nodesQueue.pop_front();            if (currNode&&currNode!=tree->nil) {                nodesQueue.push_back(currNode->left);                nodesQueue.push_back(currNode->right);            } else {                nodesQueue.push_back(NULL);                nodesQueue.push_back(NULL);            }        }        nodesInThisLevel *= 2;    }}int main(){    RBTree tree;    tree.root=tree.nil=NULL;    char choose;    Interval interval;    while(true)    {        Display();        cin>>choose;        switch(choose)        {            case 'E':exit(0);break;   //选择0则跳出系统            case 'I':                     {//选择1则插入结点                    cout<<"请输入区间的左右两个端点，中间以空格隔开:";                    cin>>interval.low>>interval.high;                    RBInsert(&tree,interval);                    cout<<endl;                    break;                }            case 'D':                   {//选择2则在控制台以树的形式显示红黑树                    cout<<endl<<"此时红黑树状态如下："<<endl;                    PrintPretty(&tree,2,3);                    cout<<endl;                    break;                }            case 'S':                {//显示查找重叠区间的结果                    cout<<"请输入待查找的区间：";                    cin>>interval.low>>interval.high;                    Node* x=IntervalSearch(&tree,interval);                    if(x!=tree.nil)                    {                        Node* min_x=IntervalSearchMin(&tree,tree.root,interval);                        cout<<"Output:最先找到的重叠区间为："<<"["<<x->interval.low<<","<<x->interval.high<<"]"<<endl;                        cout<<"       具有最小低端点的重叠区间为："<<"["<<min_x->interval.low<<","<<min_x->interval.high<<"]"<<endl<<endl;                    }                    else                        cout<<"Output:无重叠区间！"<<endl<<endl;                }                    }    }}