排列组合知识

排列组合的定义：

排列 就是从n个元素中取出m个元素 按照一定的顺序排成一列 看到没 是要有顺序排成一列的

组合 也是从n个元素中取出m个元素 只不过是组成一个组 并不要求排成一列 只要组的成员不同就可以了

公式如下：

例题 哪里用得上排列组合呢

1.

在如下8*6的矩阵中，请计算从A移动到B一共有____种走法。要求每次只能向上或向右移动一格，并且不能经过P。

答案：

8*6的矩阵，从左下角A到右上角B，一共需要走12步，其中5步向上，7步向右，因此总的走法一共有C(12,5)=792种，但题目规定不能经过P，因此需要减去经过P点的走法。

经过P的路径分为两部分，从A到P，从P到B。

同理，从A到P的走法：C(6,2)=15；

同理，从P到B的走法：C(6,3)=20；

因此从A到B经过P点的走法有15*20=300种，

所以从A到B不经过P点的走法有792-300=492种。

另外 这道题也是一条动态规划题

可以利用excel很好的解决

f(x,y) = f(x,y-1) + f(x-1, y)，  这题要注意不能经过点P

笔试的时候时间有限，一个一个填还容易出错，建议打开Excel输入公式，直接拖，

效果如下：

2.有10颗糖，如果每天至少吃一颗（多不限），吃完为止，问有多少种不同的吃法？（）

这道题很像走楼梯的题目 

如果1天吃完，C9 0种吃法。

如果两天吃完，第一天吃1颗，剩下的9颗随机分为两堆，有C9 1种吃法。

如果三天吃完，有C9 2种吃法。

。。。

如果10天吃完，有C9 9种吃法。

共有C9 0+C9 1C+9 2+... +C9 9=29=512种吃法。

其实我已经猜到是这样做得了

3.某招聘笔试共有120人参加，考试有6道题。1-6道分别有86人，88人，92人，76人，72人和70人答对，如果答对3道或3道以上通过笔试，问至少有多少人通过？

这道题还是挺有难道的 我采用了一种逆向思维来求解

由题干知共做题120×6=720,分别答对1至6题的共有86＋88＋92＋76＋72＋70=484人次,则没答对1至6题的人次为720-484=236,当未通过考试的人都答错4道题时,未通过考试的人最多,即共有236÷4=59人,那么通过考试的至少有120-59=61人

所以应该是61人

4.一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如(())()也是合法 表达式；现在有 6 对()，它们可以组成的合法表达式的个数为___

这道题也是挺麻烦的

C(12,6)-C(12,5)=132

解释：

又是一个卡特兰数列。。。。这个解释起来真的挺麻烦。

我们可以把左括号看做1，右括号看做0，这些括号的组合就是01的排列

这里需要满足从第一个数开始的任意连续子序列中，0的个数不多于1的个数，也就是右括号的个数不多于左括号的个数。

假设我们不考虑这个限制条件，那么全部的01排列共有C（2n,n）种，也就是一半0一半1的情况

现在我们想办法把其中不符合要求的数量去掉

在任何不符合条件的序列中，找出使得0的个数超过1的个数的第一个0的位置，然后在导致并包括这个0的部分序列中，以1代替所有的0并以0代表所有的1。结果总的序列变成一个有(n+1)个1和(n-1)个0的序列。而且这个过程是可逆的，也就是说任何一个有(n+1)个1和(n-1)个0构成的序列都能反推出一个不符合条件的序列，所以不符合条件的序列个数为C（2n,n-1）

所以合法的排列数有C（2n,n）-C（2n,n-1）= C(12,6)-C(12,5)=132

反正没理解的话记住这个公式：卡特兰数c(2n,n)-c(2n,n+1)=924-792=132

5.七夕节n对恋人（n>=2）围成一圈举行篝火晚会。晚会的规则是：男女相同，且每对恋人处在相邻的位置上。请问有多少种不同的圈子？

正确答案: C   你的答案: D (错误)

(2n-1)!/2

2(n-1)!

2^n(n-1)!

(2n)!

根据题设，要求不同的圈子，这意味着圈子可以转动时造成的差异，可以不计。n个人站一竖排的全排列为n!，n个人站一圈子且不计圈子转动的差异的全排列为(n-1)!。

又，n个人其实是2n个情侣，每组情侣有2种站位，n组有2^n种站位。