积分图像(Integral Image)

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参考文献：

    [1] Viola P., Jones M. J. Rapid Object Detection Using a Boosted Cascade of Simple Features. Computer Vision and Pattern Recognition, 2001, Volume 1, 8-14.

    [2] Lampert C., Blaschko M., Hofmann T. Efficient subwindow search: A branch and bound framework for object localization. IEEE PAMI 31(2009)2129-2142.

    [3] F.Porkili. Integral Histogram: A fast way to extract histograms in cartesian spaces. In Proc.IEEE Conf. on Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR), 2005.

在[1]中，有两个重要的思想：

    1 级联弱分类器可以组成强分类器，且最终的结果可以媲美甚至于超越很多强的分类器。这也是至今仍然常用的一种分类器框架---Ensemble Classifier。

    2 为了能够快速实时有效的检测物体，利用pre-compute理念，形成积分图像的模式。到要用到pixel值的时候，一个矩形框的像素可以通过4次简单的查表得到，在Real-time下非常的实用。也是至今仍然很多人借用的方法之一。

    积分图像：

    先看这个最原始的玩意。给定一副图像（最好是灰度scale，彩色的话需要对每一个通道都要计算）。灰度值如下图所示：

图1：图像灰度

    图1是一副图像的像素（里面像素都是灰度scale，为了方便解释这里的灰度值都是1~9），要计算图中深度底色的矩形框中的灰度和，最直接的想法就是将这9个像素值直接相加，用数学公式表示就是：

      

公式1:i,j代表位置，image代表图像

    很显然，如果只是针对小区域的话，这样的加减倒也不是很复杂，如果这个区域包含成千上万的像素，那计算起来就比较复杂了。所以随着计算区域的增大，时间复杂度增长也很快。

    那有没有一种比较简单的方法，可以无论需要计算的区域有多大，它的时间复杂度都不变呢，或者变化很小。这就是积分图像最初的考虑策略，尽量减少后续的计算以达到实时的效果。

    

    积分图像，顾名思义，对每一个点的像素值，做相应的积分，其实简单表达就是每一个点的像素值就等于在这之前所有像素值的和。将图1转化为积分图像如图2：

图2：图1的积分图像

    现在计算图中深度区域的值就可以很简单利用4次差别结果得到：120 - 42 - 21 + 6 = 63。

    怎样利用积分图像来计算任意矩形框的值呢？一般来说简单作4次查表，再简单的“--+”运算即可得到矩形框里面的灰度和。

    解释：

图3：积分图像计算

    区域1 : = sum(A);

    区域2 : = sum(A + B);

    区域3 : = sum(A + C);

    区域4 : = sum(A + B + C + D);

    

    所以，如果需要计算D区域中的灰度和，则

    sum(D) = 区域4 - 区域2 - 区域3 + 区域1 （都是灰度值）。

    很明显，这里仅仅只需要通过查表得到 1、2、3、4点的积分图像的值即可得到。

    

    这其实就是积分图像最妙的地方，通过简单的预计算处理，存储整幅图像的积分图像，通过4次快速查表，便可以得到一个矩形框中的灰度和。下图是计算积分图像的公式：

公式2

    直接利用[1]中的解释：s(x,y)是row的积分值，ii(x,y)就是最终的积分图像。

    正因为积分图像实现简单，速度快，从提出以后，后面相应的出现了更多在此基础上做文章的研究。例如“Sub-Window Search”[2]也是通过利用积分图像的原理，从全局进行深度搜索，最终得到一个比较好的定位。另外，[3]也是在原始的灰度积分图像上做出的一点扩展，将这种快速算法扩展到直方图的计算上来，也可以很好的进行图像的定位。