[HEOI2013] SAO

Description

给定一幅有向图，若忽略边的方向，其形态为一棵树，问其拓扑序的方案数。

N≤105,M=N−1

Analysis

我们DP的思路是，对于一个限制(u,v)，要么是u在v前，要么是u在v后，在状态里面我们设u所在的位置为j，则我们要限制v在j前或后。

设fi,j为结点i在其子树的序列中排第j，考虑某个儿子ch（树上的），合并ch至i所在序列，使得生成一个新序列，转移的思路是枚举ch所在序列，看其有多少插在j前。

若ch要在i前，具体地，因为j往后变成了j′，所以有j′−j的位置提供给了ch所在的序列，而要限制ch在i前，ch在其序列的位置必须在j′−j前，当然sum包括了|ch|。
f′i,j′=∑fi,j×(∑j′−jk=1fch,k)×(j′−1j′−j)×(sum−j′|ch|−(j′−j))。

若ch在i后，唯一不同的是ch的位置要在j′−j+1后。
f′i,j′=∑fi,j×(∑|ch|k=j′−j+1fch,k)×(j′−1j′−j)×(sum−j′|ch|−(j′−j))。

时间复杂度：O(N3)。因为状态较稀疏，所以本算法可以通过本题。