工程优化作业——成功失败法和黄金分割法

西电工程优化作业编程题，写篇博客是为了熟悉MarkDown公式编写的方式。

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搜索方法概述

求多元函数的极值点常采用迭代法，基本思想是先选择f(x)的极小点的一个初始点x0，逐次产生一系列的点x0,x1,⋯,xk,⋯使得：

f(x0)>f(x1)>⋯>f(xk)>⋯
并希望点列{xk}的极限就是f(x)的极小值点x∗
根据不同的原则选择不同的pk(pk称为搜索方向)，就得到不同的算法，这种求α使得f(xk+α∙pk)为极小的过程，叫做一维搜索或一维最优化。

成功失败法

问题

设问题为：

mina≤x≤b{f(x)}
并令：

F(x)={f(x),+∞,当a≤x≤b其他

显然：

mina≤x≤b{f(x)}=minx∈R1{F(x)}

成功失败法的步骤

前进运算
先计算f(a),f(a+h)若f(a)>f(a+h)，则步长加倍，计算f(a+3h)，若f(a+h)≤f(a+3h)，则c=a,d=a+3h，否则，步长再加倍并重复上述运算。
后退运算
若f(a)>f(a+h)，则将步长缩减为原来的14，并改变符号，即将步长改为−h4，若f(a)<f(a−h4)则c=a−h4,d=a+h，否则将步长加倍，并继续后退。

0.618法（黄金分割法）

首先条件是f(x)是[a,b]上的单峰函数

缩短搜索区间的原则

设f(x)在[a,b]上为单峰函数，最小点为x∗，在(a,b)上任取两点a<x1<x2<b，计算f(x1)、f(x2)

“去坏留好”原则

若f(x1)<f(x2)，则x∗∈[a,x2]
若f(x1)≥f(x2)，则x∗∈[x1,b]

对称原则

由于在计算前不能预测x1,x2，为了稳妥，我们有：

x1−a=b−x2
则有：
x2=a+b−x1

等比收缩原则

我们希望每次留下的区间长度都是上次留下的区间长度的w倍(0<w<1)，w为常数。
设：ln是第n次比较函数值后留下区间的长度，我们希望ln+1=w∙ln
根据计算得到：
w=−1±5√2(1)

代码实现上述两种方法

f(x)=x4+x3−x2+1,ε=10−2

#include<iostream>#include <algorithm>#include<cmath>#include <iomanip>using namespace std;double  f(double x){    return pow(x, 4) + pow(x, 3) - pow(x, 2) + 1;}//define f(x)int main(){    //成功失败法    double a;    double h;    cout << "input: " << endl << "a: ";    cin >> a;    cout << "h: ";    cin >> h;    double a1 = a;    double a2 = a + h;    double f1 = f(a1);    double f2 = f(a2);    double c;    double d;    if (f2 < f1)    {        h = 2 * h;        a2 += h;        f1 = f2;        f2 = f(a2);        while (f2 < f1)        {            a1 = a2 - h;            h = 2 * h;            a2 += h;            f1 = f2;            f2 = f(a2);        }// end while        c = a1;        d = a2;    }    else    {        h = -h / 4;        a1 = a1 + h;        f2 = f1;        f1 = f(a1);        while (!(f2 < f1))        {            a2 = a1 - h;            h = h + h;            a1 = a1 + h;            f2 = f1;            f1 = f(a1);        }//end while        c = a1;        d = a2;    }//end if-else    cout << "[ " << fixed << setprecision(2) << c << " ," << fixed << setprecision(2) << d << " ]" << endl;//output    //0.618法    double E = 0.01;    double x_result;    double _a = c;    double _b = d;    double x1 = _a + 0.382*(_b - _a);    double x2 = _a + _b - x1;    double R;    double G;    R = f(x1);func1:    G = f(x2);func2:    if (R > G)    {        _a = x1;        if (abs(_a - _b) < E)        {            x_result = (_a + _b) / 2;        }        else        {            x1 = x2;            x2 = _a + 0.618*(_b - _a);            R = G;            goto func1;        }    }    else    {        _b = x2;        if (abs(_b - _a) < E)        {            x_result = (_a + _b) / 2;        }        else        {            x2 = x1;            x1 = _a + 0.382*(_b - _a);            G = R;            R = f(x1);            goto func2;        }    }    cout << "x*=" << fixed<<setprecision(2)<<x_result << endl;    system("PAUSE");    return 0;}