利用动态规划解决连乘问题

动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随机引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程称为动态规划。

     给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

算法描述：

将矩阵连乘积简记为A[i:j] ，这里i≤j     设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全加括号方式为

代码实现：

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>using namespace std;void MatrixChain(int *p,int n,int **m,int **s){    for(int i = 1;i <= n;i++)        m[i][i] = 0;//初始化矩阵    // r 表示每次宽度    // i,j表示从从矩阵i到矩阵j    // k 表示切割位置    for(int r = 2;r <= n;r++)    for(int i = 1;i <= n-r+1li++){        int j = i+r-1;         // 从矩阵i到矩阵j连乘，从i的位置切割，前半部分为0        m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];        s[i][j] = i;        for(int k = i+1;k < j;k++){            int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];            if(t<m[i][j]){                m[i][j] = t;                s[i][j] = k;            }        }//for k    }//for i}//for jint main(){  int **m=new int*[10];//m分配空间    for(int i=0; i<10; i++)        m[i]=new int[10];    int p[6] = {30,35,15,5,10,25};//初始化p    int **s=new int*[10];//s分配空间    for(int i=0; i<10; i++)        s[i]=new int[10];    MatrixChain(p,6,m,s);//对矩阵连乘函数的调用    //打印连乘的过程    for(int i = 1;i < 6;i++){        for(int j = 0;j <6;j++){                if(j<i){                    cout<<"         ";                }else{                    cout<<m[i][j]<<"    ";                }            }        cout<<endl;    }    //打印连乘的次数    for(int i = 1;i < 6;i++){        for(int j = 0;j <6;j++){                if(j<=i){                    cout<<"     ";                }else{                    cout<<s[i][j]<<"    ";                }            }        cout<<endl;    }return 0;}</span>

运行结果

 算例分析

初始条件**m（用于存放过程），数组p（所要计算的值），**s（用于存放连乘次数）。算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。

学习该算法心得

  动态规划法是求解最优化问题的一种方法，动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。