细说六度分隔与相关数学模型

1.    什么是六度分隔理论。

更好的说法应该叫小世界理论，即假设世界上所有互不相识的人只需要很少的中间人就能够建立起联系的理论。也就是说任何两位素不相识的人之间，通过一定的联系方式，总能够产生必然联系或关系。通过对小世界理论的深入研究，科学家提出了诸多模型，并从中挖掘出非常多的价值（具体应用见3）。

 “Six degrees ofseparation”这个词最早是在1929年，匈牙利作家FrigyesKarinthy在一篇短篇小说"Chains"中提到这个的。故事中的角色认为世界上任何两个人可以经过最多5个人而有所连结，他们觉得世界正在缩小，科技使距离遥远的人之间可以轻易产生联络。（这个人真厉害！）

 

2.    六度分隔理论有什么依据。六度分隔理论如何证明的。

六度是一个猜想，单纯从数学上考虑，假设一个人有100个不同的朋友，那100个朋友也有100个不重复的朋友，那100⁶确实远远大于目前地球上的人口总数（如图1）。但事实上人们的那100个朋友间往往也是朋友，并不会这样单纯的扩散。

其实人与人之间的关系更符合连通的卡夫曼图（如图2），关系网在局部内聚集，而每个聚类间随机产生些连接，这些连接代表的就是那些生活中关系网十分广泛的人，他们虽然是少数的，但正是这些人的存在使整个“六度分隔“的网络得以联系起来。研究证明，在一个卡夫曼图中产生随机少量连接，图的最大路径会在某个点产生骤减（如图3），这也间接证明了六度分隔是存在的。(具体的数学模型见4)

目前并没有研究能严格证明你和世界上任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个。但有不少实验在一定范围内验证了人和人之间的联系很短，一般不超过6个。

实验一：

1967年，哈佛大学心理学教授Stanley Milgram就根据这个概念做过一次连锁信实验，尝试证明平均只需要5个中间人就可以联系任何两个互不相识的美国人，并在《Psychology Today》上发表了著名的论文The Small-World Problem。

StanleyMilgram把信随机发送给住在美国各城市的一部分居民，信中写有一个波士顿股票经纪人的名字，并要求每名收信人把这封信寄给自己认为是比较接近这名股票经纪人的朋友。这位朋友收到信后，再把信寄给他认为更接近这名股票经纪人的朋友。最终，大部分信件都寄到了这名股票经纪人手中，每封信平均经手6.2次到达。于是，米尔格兰姆提出六度分割理论，认为世界上任意两个人之间建立联系，最多只需要6个人这便是世界上第一次著名的关于“六度分隔理论“的实验。

实验二：

1997年，威廉玛丽学院一个兄弟研发了一个游戏”game of Kevin Bacon”，这个游戏的主角叫做Kevin Bacon，是美国著名的电影演员，游戏的目的是吧Bacon和另外一个演员联系起来，如果一个演员和Bacon一起演过电影，那么他的Bacon数就是1，如果一个演员没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为1的演员演过电影，那么他的Bacon数就是2。

后来美国Virginia大学的科学家建立了一个电影演员的数据库，里面记录了60万个世界各地的演员和30万部电影的信息。只要输入一个演员的名字就可以得到他的Bacon数。统计结果显示，最大的Bacon数为8，平均值就有2.944。（目前你在英文版的google上搜索Bacon number +演员名也可以得到该演员的Bacon数，如图4）

其他结论：

Bakhshandeh等人透过Twitter来研究，结果显示随机的Twitter用户的平均分隔是3.43，也就是很类似Stanley Milgram的研究结果。

现在2011/11的Facebook资料显示，在七亿两千一百万使用者，六十九亿个连结的资料统计出来，Facebook用户的平均分隔是4.74，并呈现下降趋势，见图5。

1.    六度分隔的应用有哪些。

1)     社交网络的信息传播

社交应用使得六度网络的弱连接更容易被察觉和利用，一条热点信息将可以在极短的时间内扩散到全世界。也正是因为SNS打通了这个网络，大量的营销、教育、宣传等等信息从传统的媒体转移到了如新浪微博、朋友圈、Facebook等平台。同时，人们可以通过分析社交网络中某个词频的增长，快速筛选出热点信息，广告商也可以快速找到潜在的需求风尚。

2)     社交网络的价值挖掘

SNS网站的驱动力在于“六度分隔”理论所引伸出的“弱链接”关系，即以朋友与圈子所维持的关系，因此用户价值是其商业价值的基础。SNS网站如何定位或者如何提高用户的参与度，促进用户的使用热情，以真实的关系登陆，这需要社交网站使用户对其拥有充足的信任与了解，只有这样用户才能以一个真实的、信息黏度很高的关系进入社交网络平台，并进行充分的自我展示和信息交流，这样才能充分挖掘SNS 的潜力，实现SNS网站的真正价值。SNS用户关系价值体系中，可以把用户分为若干个节点，以兴趣爱好为依据，让用户按照自己的意愿认识好友，分享信息。处理危机

3)     处理危机

现代科技使整个世界的连接更加紧密，也使得危机在网络的聚类处累积，到一定程度便有可能爆发似地传播到整个网络，例如互联网病毒。分析网络结构，了解传播机制，制定即时的防御措施，是现代社会所必不可少的。

 

2.    有什么数学模型可以解释六度分隔理论。或者说用什么模型能够模拟六度分隔理论。

l  瓦茨-斯特罗加茨模型（简称WS模型）

Duncan Watts与Steven Strogatz于1998年在《Nature》上发表的Collective dynamics of‘small-world’ networks上提出的最著名的小世界网络模型，模型特点是具有较小平均路径长度和较大簇系数，后来人们也把满足这个条件的网络称为小世界网络。

l  纽曼-瓦茨模型（简称NW模型）

Duncan Watts与M.E.J. Newman于1999年在《Physics Letters A》上发表的Renormalization group analysis of the small-world network model提出的一种与WS模型稍有不同的模型，NW模型在理论分析上比WS模型要简单一点。当 p 很小而 N 很大的时候，这两个模型本质上是一样的。

l  BA无尺度网络模型（简称BA模型）

上述的模型均为指数网络模型，指数网络中的节点是同质的，它们的度大致相同，绝大部节点的度都位于网络节点平均度附近，网络节点度分布随度数的增加呈指数衰减，使得网络中不存在度数特别大的节点。这种类型的模型的度分布与许多现实网络都不相符，用它们来描述这些现实网络，具有很大的局限性。于是便有了无尺度网络。在无尺度网络中的节点是异质的，其节点度服从幂律分布。其中最著名的便是Barabási和Albert于1999年发表在《Science》上的Emergence of Scaling inRandom Networks中提出的BA模型。