<算法导论>第二章 2.3设计算法

来源：互联网发布：webcrack软件下载编辑：程序博客网时间：2024/06/04 18:41

2.3.1 分治法

分治法由两部分构成：分治+递归

最开始接触递归，是在用递归的方法求解斐波那契数列那会。

斐波那契数很简单，定义如下:

用递归的方法求斐波那契数列和int Fibonacci(int n){    if(n<=1)         return n;    else         return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);}

递归特点是不断地调用自身，直到满足结束条件，最后逐层返回结果。

分治法的思想和递归有些相像，它把一个大规模的问题分解成更小的但是算法逻辑相似的问题，不断往下递归，最后由得到的最小问题的解逐层往上构成所求问题的解。

体现分治法的一个典型例子就是归并排序

MERGE-SORT(A,p,r)if p<r   q=(r-p)/2   MERGE-SORT(A,p,q)   MERGE-SORT(A,q+1,r)   MERGE(A,p,q,r)

MERGE(A,p,q,r)n1=q-p+1n2=r-q+1for i=1 to n1     L[i]=A[p+i-1]for j=1 to n2     R[j]=A[q+j]L[n1+1]=65535R[n2+1]=65535i=1j=1for k=p to r     if L[i]<=R[j]         A[k]=L[i]         i=i+1      else          A[k]=R[j]          j=j+1

贴一张归并排序的简单图解

2.2.3 分析分治算法

注：cn为树根（在递归的顶层引起的代价）

根的两个子树代表较小的规模（T(n/2)）

T(n)=2T(n/2)+cn=.....=c*n*( lg n+1 )

=θ(n*lg n)

2.3-2:重写MERGE伪代码（不使用无穷大哨兵）

MERGE(A,p,q,r)n1=q-p+1n2=r-q+1for i=1 to n1     L[i]=A[p+i-1]for j=1 to n2     R[j]=A[q+j]L[n1+1]=65535R[n2+1]=65535i=1j=1for k=p to r     if i>n1 or  j>n2         break     if L[i]<=R[j]         A[k]=L[i]         i=i+1      else          A[k]=R[j]          j=j+1    if i>n1       for j to n2            A[P+n1+j-1]=R[j]    else       for i to n1            A[P+n2+i-1]=L[i]

2.3-3 n=2^1 成立

假设当n=2^p，解T(n)=n*lg n成立

当n'=2^(p+1)时，T(n')=.....=T(n+1)

由数学归纳法，证明完毕。

2.3-4

推导可得: T(n)=θ(n^2)

2.3-5

binarySearch(A,p,q)if p>q   return NILif v>A[(p+q)/2]   binarySearch(A,(p+q)/2,q)else if v<A[(p+q)/2]   binarySearch(A,p,(p+q)/2)else   return (p+q)/2时间成本分析：每迭代一次，规模减半。T(n)=T(n/2)+θ(1)求解得T(n)=lg n

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